15.已知關于x的一元一次方程x2-(5a+3)x+4(a2-1)=0的兩實根分別是一個直角三角形的兩條直角邊,該直角三角形的面積是70,求此三角形的三邊長.

分析 設方程x2-(5a+3)x+4(a2-1)=0的兩實根m、n分別是一個直角三角形的兩條直角邊,由三角形的面積得出$\frac{1}{2}$mn=70,由根與系數(shù)的關系得出m+n=5a+3,mn=4(a2-1),得出關于a的方程求得答案即可,代入方程求得方程的解,勾股定理求得斜邊即可.

解答 解:設關于x的方程x2-(5a+3)x+4(a2-1)=0的兩個根為m和n,
則m+n=5a+3,mn=4(a2-1),
∵$\frac{1}{2}$mn=70,
∴4(a2-1)=140,
解得a1=6,a2=-6,
∵m+n=5a+3>0,a>-$\frac{3}{5}$,
∴a=6,
∴原方程為x2-33x+140=0,
解得:x1=5,x2=28,
則$\sqrt{{5}^{2}+2{8}^{2}}$=$\sqrt{809}$,
此三角形的三邊長分別為5,28,$\sqrt{809}$.

點評 此題考查了根與系數(shù)的關系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時,x1+x2=-$\frac{a}$,x1x2=$\frac{c}{a}$.也考查了三角形的面積計算方法,解一元二次方程,勾股定理等知識.

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