Question

15．已知關于x的一元一次方程x²-（5a+3）x+4（a²-1）=0的兩實根分別是一個直角三角形的兩條直角邊，該直角三角形的面積是70，求此三角形的三邊長．

Answer 1

分析 設方程x²-（5a+3）x+4（a²-1）=0的兩實根m、n分別是一個直角三角形的兩條直角邊，由三角形的面積得出$\frac{1}{2}$mn=70，由根與系數(shù)的關系得出m+n=5a+3，mn=4（a²-1），得出關于a的方程求得答案即可，代入方程求得方程的解，勾股定理求得斜邊即可．

解答 解：設關于x的方程x²-（5a+3）x+4（a²-1）=0的兩個根為m和n，
則m+n=5a+3，mn=4（a²-1），
∵$\frac{1}{2}$mn=70，
∴4（a²-1）=140，
解得a₁=6，a₂=-6，
∵m+n=5a+3＞0，a＞-$\frac{3}{5}$，
∴a=6，
∴原方程為x²-33x+140=0，
解得：x₁=5，x₂=28，
則$\sqrt{{5}^{2}+2{8}^{2}}$=$\sqrt{809}$，
此三角形的三邊長分別為5，28，$\sqrt{809}$．

點評 此題考查了根與系數(shù)的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了三角形的面積計算方法，解一元二次方程，勾股定理等知識．