19.如圖,Rt△ABC中,AC⊥BC,AD平分∠BAC交BC于點D,DE⊥AD交AB于點E,M為AE的中點,BF⊥BC交CM的延長線于點F,BD=4,CD=3.下列結(jié)論:①∠AED=∠ADC;②BE=DE;③AC•BE=12;④3BF=4AC;⑤$\frac{DE}{DA}$=$\frac{3}{4}$.其中正確結(jié)論的個數(shù)有(  )
A.1個B.2個C.3個D.4個

分析 利用相似三角形的判定方法逐一分析:
由∠AED=90°-∠EAD,∠ADC=90°-∠DAC,∠EAD=∠DAC判定①;
用反證法假設(shè)BE=DE,得出AC的值判斷②
易證△ADE∽△ACD,得DE:DA=DC:AC=1:AC,進而得出AC的長,即可得出④答案;
連接DM,可證DM∥BF∥AC,得FM:MC=BD:DC=4:3;易證△FMB∽△CMA,得比例線段求解得出③;
BE=DE成立.由④可知BM:MA=BF:AC=2:1,而BD:DC=2:1,可知DM∥AC,DM⊥BC,利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)判斷⑤.

解答 解:∵∠AED=90°-∠EAD,∠ADC=90°-∠DAC,∠EAD=∠DAC,
∴∠AED=∠ADC.
故①正確;
∵AD平分∠BAC,
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{4}{3}$,
∴設(shè)AB=4x,則AC=3x,
在直角△ABC中,AC2+BC2=AB2,則(3x)2+49=(4x)2,
解得:x=$\sqrt{7}$,
∵∠EAD=∠DAC,∠ADE=∠ACD=90°,
∴△ADE∽△ACD,得DE:DA=DC:AC=3:$\sqrt{7}$,故⑤不正確;
∵∠AED=∠ADC,
∴∠BED=∠BDA,
又∵∠DBE=∠ABD,
∴△BED∽△BDA,
∴DE:DA=BE:BD,
∵DE:DA=DC:AC,
∴BE:BD=DC:AC,
∴AC•BE=BD•DC=12.
故③正確;
連接DM,

在Rt△ADE中,MD為斜邊AE的中線,
則DM=MA.
∴∠MDA=∠MAD=∠DAC,
∴DM∥BF∥AC,
由DM∥BF得FM:MC=BD:DC=4:3;
由BF∥AC得△FMB∽△CMA,有BF:AC=FM:MC=4:3,
∴3BF=4AC.
故④正確.
假設(shè)BE=DE,則∠EBD=∠EDB
∵MD∥AC,
∴△ADM是直角三角形
∴∠BDE+∠EDM=90°
又∵∠EBD+∠EMD=90°
∴∠EDM=∠EMD
∴EM=ED
∵DM是Rt△ADE斜邊的中線
∴MD=ME
∴△EMD是等邊三角形
∴∠ABC=30°
∵BC=7
∴AC=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$
前面已證AC=3x=3$\sqrt{7}$,矛盾
所以假設(shè)不成立,②錯誤
綜上所述,①③④正確,共有3個.
故選:D.

點評 此題考查三角形相似的判定與性質(zhì),掌握相似三角形的判斷方法與性質(zhì)運用是解決問題的關(guān)鍵.

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