Question

9．如圖，在△ABC中，∠B=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于D，過點D作⊙O的切線交BC于E，AE交⊙O于點F．
（1）求證：E是BC的中點；
（2）求證：AD•AC=AE•AF=4DO²．

Answer 1

分析 （1）要想證明E是BC的中點，只要證明CE=BE即可，根據(jù)已知條件可以得到DE=EC，DE=BE，從而本題得以解決；
（2）根據(jù)題意可知AB=2OD，只要證明AD•AC=AE•AF=AB²即可，然后根據(jù)三角形相似可以證明結(jié)論成立，本題得以解決．

解答 （1）證明：連接BD，如右圖所示，
∵AB是⊙O的直徑，
∴BD⊥AC，
又∵∠ABC=90°，
∴CB切⊙O于點B，且ED且⊙O于點E，
∴EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB，∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C，
∴∠CDE=∠C，
∴ED=EC，
∴EB=EC，
即點E是BC的中點；
（2）證明：∵AB=2OD，
∴AB²=4OD²，
連接BF，由由上圖所示，
∵AB是⊙O的直徑，
∴BF⊥AE，
∴△ABE∽△AFB，
∴$\frac{AB}{AF}=\frac{AE}{AB}$，
∴AB²=AE•AF，
同理可得，AB²=AD•AC，
∴AB²=AD•AC=AE•AF，
即AD•AC=AE•AF=4DO²．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．