Question

如圖，一次函數y=x+m的圖象經過點A（-2，0），交y軸于點D，對稱軸為x=1的拋物線與x軸相交于點A、B，并與直線AD相交于點C，連接BD、BC，有∠OBD=∠BCD．
（1）求點B、C、D的坐標；
（2）求拋物線的函數解析式；
（3）拋物線上是否存在點P，使∠ACP為直角？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）由A的坐標和對稱軸即可求得B的坐標，把A的坐標代入一次函數解析式求得m的值即可求得D的坐標，然后通過△ABD∽△ACB和平行線分線段成比例定理即可求得C的坐標；
（2）把A、B、C的坐標代入解析式，根據待定系數法即可求得拋物線的解析式；
（3）過C點作CF⊥AC，交x軸于F，根據等腰直角三角形求得F的坐標，然后根據待定系數法求得直線CF的解析式，然后和拋物線的解析式聯立方程，即可求得P的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線與x軸相交于點A、B，且對稱軸為x=1，A（-2，0），
∴B的坐標為（4，0），
∴AB=2+4=6，
∵一次函數y=x+m的圖象經過點A（-2，0），
∴-2+m=0，解得m=2，
∴D的坐標為（0，2），
∴AD=

OA2+OD2

=

22+22

=2

2

，
在△ABD和△ACB中，∠ABD=∠BCA，∠DAB=∠BAC，
∴△ABD∽△ACB，
∴

AC

AB

=

AB

AD

，
∴AC=

6×6

2 2

=9

2

，
作CE∥y軸，
∴

AE

OA

=

CE

OD

=

AC

AD

=

9 2

2 2

=

9

2

，
∴AE=

2×9

2

=9，CE=

2×9

2

=9，
∴OE=AE-OA=7，
∴C的坐標為（7，9）；

（2）∵二次函數y=ax²+bx+c的圖象過A（-2，0），B（4，0），C（7，9），
∴

4a-2b+c=0 16a+4b+c=0 49a+7b+c=9

，解得

a= 1 3 b=- 2 3 c=- 8 3

，
∴拋物線的函數解析式為y=

1

3

x²-

2

3

x-

8

3

．

（3）存在；
過C點作CF⊥AC，交x軸于F，
∴OA=OD=2，
∴∠CAF=45°，
∴△CAF是等腰直角三角形，
∴AE=EF=9，
∴F的坐標（16，0），
設直線CF的函數解析式為y=kx+b，
∴

7k+b=9 16k+b=0

，解得

k=-1 b=16

，
∴直線CF的函數解析式為y=-x+16，
解

y=-x+16 y= 1 3 x2- 2 3 x- 8 3

，得

x=7 y=9

或

x=-8 y=24

，
∴P的坐標為（-8，24）．
所以拋物線上存在點P，使∠ACP為直角，此時P的坐標為（-8，24）．

點評：本題考查了二次函數的綜合題，解題的關鍵是應用待定系數法求解析式，三角形相似的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質．