Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為矩形，0A邊在x軸上，OC邊在y軸上，OB是矩形的對(duì)角線，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（8，4），點(diǎn)D在x軸上，∠OBC=∠OBD
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā)，沿0-B--C方向勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是2個(gè)單位/秒，設(shè)△PBD的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（直接寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使tan∠APD=？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由矩形的對(duì)邊平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，再由已知的一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)角相等，再利用等角對(duì)等邊得到BD=OD，由B的坐標(biāo)求出BC與AB的長(zhǎng)，設(shè)BD=OD=x，由OA-OD表示出AD的長(zhǎng)，在直角三角形ABD中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出D的坐標(biāo)；
（2）由AB與OA的長(zhǎng)，利用勾股定理求出OB的長(zhǎng)，分兩種情況考慮：P在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)與P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別表示出面積S與t的關(guān)系式即可；
（3）P在三個(gè)位置時(shí)滿足題意，P為OB中點(diǎn)，P與B重合，DP垂直于BC時(shí)，分別求出P的坐標(biāo)即可．
解答：解：（1）∵BC∥AO，
∴∠OBC=∠BOA，
∵∠OBC=∠OBD，
∴∠BOA=∠OBD，
∴BD=OD，
∵B（8，4），即BC=OA=8，AB=CO=4，
∴設(shè)BD=OD=x，則有AD=OA-OD=8-x，
在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得：BD²=AD²+AB²，即x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5，
∴OD=5，即D（5，0）；

（2）過(guò)D作DE⊥OB，交OB于點(diǎn)E，連接PD，如圖1所示，
∴∠BED=90°，
在Rt△AOB中，OA=8，AB=4，
根據(jù)勾股定理得：OB==4，
∵BD=OD，
∴E為OB的中點(diǎn)，即BE=OB=2，
∵∠CBO=∠DBO，
∴tan∠CBO====tan∠DBO，
∴tan∠DBO==，即DE=，
∵OP=2t，∴PB=OB-OP=4-2t，
當(dāng)0＜t＜2時(shí)，S_△BDP=PB•DE=××（4-2t）=-5t+10；
過(guò)D作DE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，連接PD，如圖2所示，
∵∠DEB=∠EBA=∠BAO=90°，
∴四邊形ABED為矩形，
∴DE=AB=4，
∵PB=2t-4，
當(dāng)2＜t＜2+時(shí)，S_△BDP=PB•DE=×4×（2t-4）=t-；

（3）分三種情況，
當(dāng)P₁在OB的中點(diǎn)，即P₁（4，2）時(shí)，由ABP1D四點(diǎn)共圓，得到∠AP₁D=∠ABD，
則tan∠AP₁D=tan∠ABD==；
當(dāng)P₂與B重合時(shí)，P₂（8，4），顯然tan∠AP₂D=tan∠ABD=；
當(dāng)DP₃⊥BC時(shí)，△ABD≌△P₃DB，∴∠AP₃D=∠ABD，
則tan∠AP₃D=tan∠ABD==，此時(shí)P₃（5，4），
綜上，滿足題意的坐標(biāo)為：P₁（4，2），P₂（8，4），P₃（5，4）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似型綜合題，涉及的知識(shí)有：銳角三角函數(shù)定義，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，分類討論時(shí)注意考慮問(wèn)題要全面，做到不重不漏．