Question

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AC為弦，CD⊥AB于D．若AE=AC，BE交⊙O于點(diǎn)F，連接CF、DE．
求證：（1）AE²=AD•AB；
（2）∠ACF=∠AED．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AE=AC，可以把結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明AC²=AD•AB，只需連接BC，證明△ACD∽△ABC即可．根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，即可分析得到兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，即可證明三角形ADE相似于三角形AEB，得到∠AED=∠B，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等即可證明．

解答：證明：（1）連接BC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵CD⊥AB，
∴△ACD∽△ABC．
∴

AC

AD

=

AB

AC

．
∵AC=AE，
∴AE²=AD•AB．

（2）∵AE²=AD•AB，∠EAD=∠BAE，
∴△ADE∽△AEB．
∴∠AED=∠B．
∵∠ACF=∠B，
∴∠ACF=∠AED．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)相似三角形的判定和性質(zhì)的掌握和應(yīng)用．