Question

在△ABC中，AB=AC，將線段AC繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段CD，旋轉(zhuǎn)角為α，且0°＜α＜180°，連接AD、BD．
（1）如圖1，當∠BAC=100°，α=60°時，∠CBD 的大小為

 

；
（2）如圖2，當∠BAC=100°，α=20°時，求∠CBD的大�。�
（3）已知∠BAC的大小為m（60°＜m＜120°），若∠CBD的大小與（2）中的結(jié)果相同，請直接寫出α的大�。�

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由∠BAC=100°，AB=AC，可以確定∠ABC=∠ACB=40°，旋轉(zhuǎn)角為α，α=60°時△ACD是等邊三角形，且AC=AD=AB=CD，知道∠BAD的度數(shù)，進而求得∠CBD的大��；
（2）由∠BAC=100°，AB=AC，可以確定∠ABC=∠ACB=40°，連結(jié)DF、BF．AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°，∠ACD=20°，由∠DCB=20°案．依次證明△DCB≌△FCB，△DAB≌△DAF．利用角度相等可以得到答案．
（3）結(jié)合（1）（2）的解題過程可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，△ACD是等邊三角形時，CD在△ABC內(nèi)部時，CD在△ABC外部時，求得答案．

解答：解：（1）30°
（2）如圖作等邊△AFC，連結(jié)DF、BF．
∴AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°．
∵∠BAC=100°，AB=AC，
∴∠ABC=∠BCA=40°．
∵∠ACD=20°，
∴∠DCB=20°．
∴∠DCB=∠FCB=20°．①
∵AC=CD，AC=FC，
∴DC=FC．②
∵BC=BC，③
∴由①②③，得△DCB≌△FCB，
∴DB=BF，∠DBC=∠FBC．
∵∠BAC=100°，∠FAC=60°，
∴∠BAF=40°．
∵∠ACD=20°，AC=CD，
∴∠CAD=80°．
∴∠DAF=20°．
∴∠BAD=∠FAD=20°．④
∵AB=AC，AC=AF，
∴AB=AF．⑤
∵AD=AD，⑥
∴由④⑤⑥，得△DAB≌△DAF．
∴FD=BD．
∴FD=BD=FB．
∴∠DBF=60°．
∴∠CBD=30°．
（3）由（1）知道，若∠BAC=100°，α=60°時，則∠CBD=30°；
①由（1）可知，設∠α=60°時可得∠BAD=m-60°，∠ABC=∠ACB=90°-

m

2

，
∠ABD=90°-

1

2

∠BAD=120°-

m

2

，
∠CBD=∠ABD-∠ABC=30°．
②由（2）可知，翻折△BDC到△BD₁C，則此時∠CBD₁=30°，
∠BCD=60°-∠ACB=

m

2

-30°，
∠α=∠ACB-∠BCD₁=∠ACB-∠BCD=90°-

m

2

-（

m

2

-30°）=120°-m，
③以C為圓心CD為半徑畫圓弧交BF延長線于D₂，連接CD₂，
∠CDD₂=∠CBD+∠BCD=30°+

m

2

-30°=

m

2

，
∠DCD₂=180°-2∠CDD₂=180°-m
∠α=60°+∠DCD₂=240°-m．
綜上所述，α為60°或120°-m或240°-m時∠CBD=30°．

點評：本題是一道幾何結(jié)論探究題，解答這類題目的關(guān)鍵是要善于從探究特殊結(jié)論中歸納出一般性解題方法，并靈活運用這種方法解答一般性的問題，真正達到舉一反三的目的．