Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點F，C是⊙O上兩點，且

AF

=

FC

=

CB

，連接AC，AF，過點C作CD⊥AF交AF延長線于點D，垂足為D．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若CD=2

3

，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的判定,三角形三邊關(guān)系,圓周角定理

專題：幾何圖形問題

分析：（1）連結(jié)OC，由

FC

=

BC

，根據(jù)圓周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，則∠FAC=∠OCA，可判斷OC∥AF，由于CD⊥AF，所以O(shè)C⊥CD，然后根據(jù)切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；
（2）連結(jié)BC，由AB為直徑得∠ACB=90°，由

AF

=

FC

=

CB

得∠BOC=60°，則∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AC=2CD=4

3

，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得BC=

3

3

AC=4，AB=2BC=8，所以⊙O的半徑為4．

解答：（1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵

FC

=

BC

，
∴∠FAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AF，
∵CD⊥AF，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：連結(jié)BC，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵

AF

=

FC

=

CB

，
∴∠BOC=

1

3

×180°=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，CD=2

3

，
∴AC=2CD=4

3

，
在Rt△ACB中，BC=

3

3

AC=

3

3

×4

3

=4，
∴AB=2BC=8，
∴⊙O的半徑為4．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．