Question

（2006•海淀區(qū)）如圖，已知直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過(guò)正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)A、B、C．
（1）用直尺畫(huà)出該圓弧所在圓的圓心M的位置；
（2）若A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，0），試驗(yàn)證點(diǎn)D是否在經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線(xiàn)上；
（3）在（2）的條件下，求證：直線(xiàn)CD是⊙M的切線(xiàn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）題利用“兩弦垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)為圓心”可確定圓心位置；
（2）先根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式，然后將D點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中，即可判斷出點(diǎn)D是否在拋物線(xiàn)的圖象上；
（3）由于C在⊙M上，如果CD與⊙M相切，那么C點(diǎn)必為切點(diǎn)；因此可連接MC，證MC是否與CD垂直即可．可根據(jù)C、M、D三點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示出△CMD三邊的長(zhǎng)，然后用勾股定理來(lái)判斷∠MCD是否為直角．
解答：（1）解：如圖1，點(diǎn)M即為所求；

（2）解：由A（0，4），可得小正方形的邊長(zhǎng)為1，從而B(niǎo)（4，4）、C（6，2）
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+4
依題意，解得
所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+x+4
把點(diǎn)D（7，0）的橫坐標(biāo)x=7代入上述解析式，得
所以點(diǎn)D不在經(jīng)過(guò)A、B、C的拋物線(xiàn)上；

（3）證明：如圖，設(shè)過(guò)C點(diǎn)與x軸垂直的直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為E，連接MC，作直線(xiàn)CD

∴CE=2，ME=4，ED=1，MD=5
在Rt△CEM中，∠CEM=90°
∴MC²=ME²+CE²=4²+2²=20
在Rt△CED中，∠CED=90°
∴CD²=ED²+CE²=1²+2²=5
∴MD²=MC²+CD²
∴∠MCD=90°
∵M(jìn)C為半徑
∴直線(xiàn)CD是⊙M的切線(xiàn)．
點(diǎn)評(píng)：本題為綜合題，涉及圓、平面直角坐標(biāo)系、二次函數(shù)等知識(shí)，需靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．本題考查二次函數(shù)、圓的切線(xiàn)的判定等初中數(shù)學(xué)的中的重點(diǎn)知識(shí)，試題本身就比較富有創(chuàng)新，在網(wǎng)格和坐標(biāo)系中巧妙地將二次函數(shù)與圓的幾何證明有機(jī)結(jié)合，很不錯(cuò)的一道題，令人耳目一新．