Question

19．已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，分別以AB，AC為邊在△ABC外側(cè)作等邊三角形ABE與等邊三角形ACD．
（1）如圖①，求∠BAD的大小；
（2）如圖②，連接DE交AB于點(diǎn)F．求證：EF=DF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠CAD=60°，由∠BAC=30°，根據(jù)角的和差關(guān)系，于是得到結(jié)論；
（2）作EG∥AD，交AB于點(diǎn)G，由等邊三角形的∠DAC=60°，加上已知的∠CAB=30°得到∠FAD=90°，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠EGF=90°，再根據(jù)∠ACB=90°，∠CAB=30°，利用三角形的內(nèi)角和定理得到∠ABC=60°，由等邊三角形的性質(zhì)也得到∠EBG=60°，從而得到兩角相等，再由EB=AB，利用“AAS”證得△EGB≌△ACB，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到EG=AC，再由△ADC為等邊三角形得到AD=AC，等量代換可得EG=AD，加上一對(duì)對(duì)頂角的相等和一對(duì)直角的相等，根據(jù)“AAS”證得△EGF≌△DAF，最后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證．

解答 （1）解：∵△ACD是等邊三角形，
∴∠CAD=60°，
∵∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°；

（2）證明：如圖②，作EG∥AD，交AB于點(diǎn)G，
由∠DAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAD=∠DAC+∠CAB=90°，
∴∠EGF=∠FAD=90°，
又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵△ABE為等邊三角形，∠EBG=60°，EB=AB，
∴∠EBG=∠ABC=60°，
在△EGB和△ACB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGB=∠ACB}\\{∠EBG=∠ABC}\\{EB=AB}\end{array}\right.$，
∴△EGB≌△ACB（AAS），
∴EG=AC，
又∵△ADC為等邊三角形，
∴AD=AC，
∴EG=AD，
在△EGF和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGF=∠DAF}\\{∠EFG=∠DFA}\\{EG=DA}\end{array}\right.$，
∴△EGF≌△DAF（AAS），
∴EF=DF，即F為DE中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，其中全等三角形的判定方法為：SSS；SAS；ASA；AAS；HL（直角三角形判定全等的方法），常常利用三角形的全等來解決線段或角相等的問題，在證明三角形全等時(shí)，要注意公共角及公共邊，對(duì)頂角相等等隱含條件的運(yùn)用．第二問作出輔助線構(gòu)造全等三角形是本問的突破點(diǎn)．