Question

5．以Rt△ABC的直角邊AC為直徑作⊙O，交斜邊AB于D，E是另一條直角邊BC的中點．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）如果AD=4，BD=$\frac{9}{4}$，求DE的長；
（3）證明$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△BCA}}$=cos²B．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD，由AC是⊙O的直徑知∠ADC=∠CDB=90°，根據(jù)BE=EC知∠EDB=∠B，進而有∠ODA+∠EDB=∠A+∠B=90°，即∠ODE=90°，得證；
（2）由切割線定理知BC²=BD•BA，可求得BC長，根據(jù)DE=$\frac{1}{2}$BC可得；
（3）顯然△BDC∽△BCA，可得$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△BCA}}$=$\frac{BD•DC}{AC•BC}$，根據(jù)cos²B=（$\frac{BD}{BC}$）²可證得．

解答 （1）證明：連結(jié)OD，

∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵BE=EC，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，即DE=BE，
∴∠EDB=∠B，
∴∠ODA+∠EDB=∠A+∠B=90°，
∴∠ODE=90°，OD為⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：∵BC²=BD•BA，
∴BC²=$\frac{9}{4}$（$\frac{9}{4}$+4），
解得BC=$\frac{15}{4}$，
則DE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{15}{8}$；
（3）證明：∵CD是Rt△ABC的斜邊上的高，
∴△BDC∽△BCA，
∴$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△BCA}}$=$\frac{BD•DC}{AC•BC}$，
又∵cos²B=（$\frac{BD}{BC}$）²，
∴$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△BCA}}$=cos²B．

點評 本題主要考查切線的判定與相似三角形的判定與性質(zhì)及切割線定理的運用，連圓心與切點證垂直是證明切線的常用作法，證相切是本題的關(guān)鍵．