【題目】正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在射線DC,DA上運(yùn)動(dòng),且DE=DF.連接BF,作EH⊥BF所在直線于點(diǎn)H,連接CH.
(1)如圖1,若點(diǎn)E是DC的中點(diǎn),CH與AB之間的數(shù)量關(guān)系是 ;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在DC邊上且不是DC的中點(diǎn)時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?若成立給出證明;若不成立,說明理由;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E,F(xiàn)分別在射線DC,DA上運(yùn)動(dòng)時(shí),連接DH,過點(diǎn)D作直線DH的垂線,交直線BF于點(diǎn)K,連接CK,請(qǐng)直接寫出線段CK長(zhǎng)的最大值.
【答案】(1)CH=AB;(2)當(dāng)點(diǎn)E在DC邊上且不是DC的中點(diǎn)時(shí),(1)中的結(jié)論CH=AB仍然成立.證明見解析.(3).
【解析】
試題分析:(1)首先根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△ABF≌△CBE,即可判斷出∠1=∠2;然后根據(jù)EH⊥BF,∠BCE=90°,可得C、H兩點(diǎn)都在以BE為直徑的圓上,判斷出∠4=∠HBC,即可判斷出CH=BC,最后根據(jù)AB=BC,判斷出CH=AB即可.
(2)首先根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△ABF≌△CBE,即可判斷出∠1=∠2;然后根據(jù)EH⊥BF,∠BCE=90°,可得C、H兩點(diǎn)都在以BE為直徑的圓上,判斷出∠4=∠HBC,即可判斷出CH=BC,最后根據(jù)AB=BC,判斷出CH=AB即可.
(3)首先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系,可得CK<AC+AK,據(jù)此判斷出當(dāng)C、A、K三點(diǎn)共線時(shí),CK的長(zhǎng)最大;然后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△DFK≌△DEH,即可判斷出DK=DH,再根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△DAK≌△DCH,即可判斷出AK=CH=AB;最后根據(jù)CK=AC+AK=AC+AB,求出線段CK長(zhǎng)的最大值是多少即可.
試題解析:(1)如圖1,連接BE,
,
在正方形ABCD中,
AB=BC=CD=AD,∠A=∠BCD=∠ABC=90°,
∵點(diǎn)E是DC的中點(diǎn),DE=DF,
∴點(diǎn)F是AD的中點(diǎn),
∴AF=CE,
在△ABF和△CBE中,
∴△ABF≌△CBE,
∴∠1=∠2,
∵EH⊥BF,∠BCE=90°,
∴C、H兩點(diǎn)都在以BE為直徑的圓上,
∴∠3=∠2,
∴∠1=∠3,
∵∠3+∠4=90°,∠1+∠HBC=90°,
∴∠4=∠HBC,
∴CH=BC,
又∵AB=BC,
∴CH=AB.
(2)當(dāng)點(diǎn)E在DC邊上且不是DC的中點(diǎn)時(shí),(1)中的結(jié)論CH=AB仍然成立.
如圖2,連接BE,
,
在正方形ABCD中,
AB=BC=CD=AD,∠A=∠BCD=∠ABC=90°,
∵AD=CD,DE=DF,
∴AF=CE,
在△ABF和△CBE中,
∴△ABF≌△CBE,
∴∠1=∠2,
∵EH⊥BF,∠BCE=90°,
∴C、H兩點(diǎn)都在以BE為直徑的圓上,
∴∠3=∠2,
∴∠1=∠3,
∵∠3+∠4=90°,∠1+∠HBC=90°,
∴∠4=∠HBC,
∴CH=BC,
又∵AB=BC,
∴CH=AB.
(3)如圖3,
,
∵CK≤AC+AK,
∴當(dāng)C、A、K三點(diǎn)共線時(shí),CK的長(zhǎng)最大,
∵∠KDF+∠ADH=90°,∠HDE+∠ADH=90°,
∴∠KDF=∠HDE,
∵∠DEH+∠DFH=360°-∠ADC-∠EHF=360°-90°-90°=180°,
∠DFK+∠DFH=180°,
∴∠DFK=∠DEH,
在△DFK和△DEH中,
∴△DFK≌△DEH,
∴DK=DH,
在△DAK和△DCH中,
∴△DAK≌△DCH,
∴AK=CH
又∵CH=AB,
∴AK=CH=AB,
∵AB=3,
∴AK=3,AC=3,
∴CK=AC+AK=AC+AB=,
即線段CK長(zhǎng)的最大值是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l1:y=kx+b 經(jīng)過點(diǎn)A(﹣,0)和點(diǎn)B(2,5).
(1)求直線l1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)C(a,a+2)與點(diǎn)D在直線l1上,過點(diǎn)D的直線l2與x軸正半軸交于點(diǎn) E,當(dāng)AC=CD=CE 時(shí),求DE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知二次函數(shù)y=ax2+x+c(a≠0)的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交于點(diǎn)B、C,點(diǎn)C坐標(biāo)為(8,0),連接AB、AC.
(1)請(qǐng)直接寫出二次函數(shù)y=ax2+x+c的表達(dá)式;
(2)判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(3)若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),請(qǐng)寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo);
(4)如圖2,若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B、C重合),過點(diǎn)N作NM∥AC,交AB于點(diǎn)M,當(dāng)△AMN面積最大時(shí),求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在中,,,于點(diǎn)D,,DG交BC于點(diǎn)G,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,且.
(1)求和的度數(shù);
(2)寫出圖中所有等腰三角形(不必證明).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上,且AB=BC=CD=DE=EF,若∠A=18°,則∠GEF的度數(shù)是( )
A. 80° B. 90° C. 100° D. 108°
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【題目】已知△ABC為等邊三角形,D為直線AC上一點(diǎn),延長(zhǎng)BC至E,使CE=AD,聯(lián)結(jié)BD,DE.
(1)如圖(a),當(dāng)D為邊AC的中點(diǎn)時(shí),求證:△BDE為等腰三角形.
(2)如圖(b),當(dāng)點(diǎn)D在邊AC上,但不是邊AC的中點(diǎn)時(shí),△BDE還是等腰三角形嗎?如果是,請(qǐng)給予證明;如果不是,說明理由.
(3)當(dāng)點(diǎn)D在邊AC的延長(zhǎng)線上時(shí),在圖(c)中畫出相應(yīng)的圖形,△BDE還是等腰三角形嗎?請(qǐng)直接寫出結(jié)論,不必證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,動(dòng)點(diǎn)P在∠ABC的平分線BD上,動(dòng)點(diǎn)M在BC邊上,若BC=3,∠ABC=45°,則PM+PC的最小值是( )
A. 2 B. C. D. 3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知等邊三角形△ABC邊長(zhǎng)為a,等腰三角形△BDC中,∠BDC=120,∠MDN=60,角的兩邊分別交AB,AC于點(diǎn)M,N,連結(jié)MN.則△AMN的周長(zhǎng)為( )
A.aB.2aC.3aD.4a
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知A(1,5),直線l1:y=x,直線l2過原點(diǎn)且與x軸正半軸成60°夾角,在l1上有一動(dòng)點(diǎn)M,在l2上有一動(dòng)點(diǎn)N,連接AM、MN,則AM+MN的最小值為_____.
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