Question

如圖所示，在Rt△OBC中，∠OBC=90°，以O為圓心，OB為半徑的⊙O交BO的延長線于A，BD⊥OC于D，交⊙O于E，連接CE并延長交直線AB于P．
（1）求證：CE是⊙O的切線．
（2）若CE=，⊙O的半徑為5，求PE的長？

Answer 1

（1）證明：連接EO，
∴△EOB為等腰三角形，
∵BD⊥OC于D，
∴∠DOB=∠DOE，
∴△CEO≌△CBO，
∵∠OBC=90°，
∴OE⊥PC，
∴CE是⊙O的切線．

（2）解：∵OE⊥PC，∠OBC=90°，
∴∠EOP=∠BCP，
∴△PEO∽△PBC，
∵OE=5，BC=EC=，
∴，
設PE=3x，PB=4x，
∴（3x+）²-（4x）²=（）²，
解方程得：x（40-7x）=0，
x₁=0（舍去）
x₂=，
∴PE=．
分析：（1）連接EO，△EOB為等腰三角形，推出∠DOB=∠DOE，結合題意推出△CEO≌△CBO，得OE⊥PC，即可推出結論，
（2）根據(jù)（1）的結論可知BC=CE=，結合題意可以推出△PEO∽△PBC，求得，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理即可推出PE的長度．
點評：本題主要考查全等三角形的判定和性質、切線的判定和性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理，解題的關鍵在于求證△CEO≌△CBO；△PEO∽△PBC，推出．