Question

如圖，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M是邊AB的中點，E、G分別是邊AC、BC上的一點，∠EMG=45°，AC與MG的延長線相交于點F．
（1）在不添加字母和線段的情況下寫出圖中一定相似的三角形，并證明其中的一對；
（2）連接結EG，當AE=3時，求EG的長．

Answer 1

分析：（1）因為△ABC是等腰直角三角形，從而可得到∠A=∠B=45°，再根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠AEM=∠BMG，從而可根據(jù)有兩組角相等的兩個三角形相似，得到△AEM∽△BMG，同理可證明△FEM∽△FMA．
（2）根據(jù)勾股定理可求得AB的長，從而可得到AM，BM的長，再根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)相似比即可求得EG的長．

解答：解：（1）一定相似的三角形：△AEM∽△BMG，△FEM∽△FMA，（2分）
以下證明△AEM∽△BMG
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°．（1分）
∵∠EMB=∠EMG+∠GMB=∠A+∠AEM，
∵∠EMG=45°，
∴∠AEM=∠BMG．（1分）
∴△AEM∽△BMG．（2分）

（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=4

2

．（1分）
∵M為AB的中點，
∴AM=BM=2

2

．
∵△AME∽△BGM，
∴

AE

BM

=

AM

BG

∴

3

2 2

=

2 2

BG

．
∴BG=

8

3

．（2分）
∴CG=4-

8

3

=

4

3

，CE=4-3=1．（2分）
∴EG=

CE2+CG2

=

5

3

．（1分）

點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定及性質(zhì)和勾股定理等知識點的掌握情況．