Question

已知⊙O的直徑AB=2cm，過點A有兩條弦，AC=2cm，AD=cm，則∠ACD=    ．

Answer 1

【答案】分析：分兩種情況考慮：當(dāng)直徑位于兩弦之間時，如圖1所示，過O作OE⊥AC，OF⊥AD，利用垂徑定理得到E為AC的中點，F(xiàn)為AD的中點，求出AE與AF的長，在直角三角形AOE中，利用銳角三角函數(shù)定義與特殊角的三角函數(shù)值求出∠CAB的度數(shù)，同理求出∠DAB的度數(shù)，由∠CAB+∠DAB即可求出∠CAD的度數(shù)；當(dāng)直徑位于兩條同側(cè)時，如圖2所示，同理可得由∠CAB-∠DAB求出∠CAD的度數(shù)．
解答：解：分兩種情況考慮：當(dāng)直徑位于兩弦之間時，如圖1所示，
過O作OE⊥AC，OF⊥AD，
∴E為AC的中點，F(xiàn)為AD的中點，
∴AE=AC=1cm，AF=AD=cm，
在Rt△AOE中，OA=AB=cm，AE=1cm，
∴cos∠CAO==，
∴∠CAO=45°，
在Rt△AOF中，OA=cm，AF=cm，
∴cos∠DAB==，
∴∠DAB=30°，
此時∠CAD=∠CAB+∠DAB=75°；
當(dāng)直徑位于兩條同側(cè)時，如圖2所示，同理可得∠CAD=∠CAB-∠DAB=15°，
綜上，∠CAD=75°或15°．
故答案為：75°或15°．
點評：此題考查了垂徑定理，以及解直角三角形，涉及的知識有：銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，利用了分類討論的思想，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．