Question

19．已知如圖1，二次函數(shù)y=ax²+4ax+$\frac{3}{4}$的圖象交x軸于A、B兩點（A在B的左側），過A點的直線y=kx+3k（k$＞\frac{1}{4}$）交該二次函數(shù)的圖象于另一點C（x₁，y₁），交y軸于M．
（1）直接寫出A點坐標，并求該二次函數(shù)的解析式；
（2）過點B作BD⊥AC交AC于D，若M（0，3$\sqrt{3}$）且點Q是線段DC上的一個動點，求出當△DBQ與△AOM相似時點Q的坐標；
（3）設P（-1，-2），圖2中連CP交二次函數(shù)的圖象于另一點E（x₂，y₂），連AE交y軸于N，請你探究OM•ON的值的變化情況，若變化，求其變化范圍；若不變，求其值．

Answer 1

分析 （1）由直線y=kx+3k（k＞$\frac{1}{4}$）過點A，可求出點A的坐標，然后把點A的坐標代入y=ax²+4ax+$\frac{3}{4}$，可求出a的值；
（2）根據(jù)有兩個角相等的三角形相似，可得①∠DQB=∠OMA，②∠DQB=∠A．①根據(jù)平行線的判定與性質，可得Q點的橫坐標，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得答案；②根據(jù)等腰三角形的判定，可得關于m的方程，根據(jù)解方程，可得m的值，再根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得答案；
（3）直線PC解析式為y=ax+a-2，與拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+x+$\frac{3}{4}$聯(lián)立得到關于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關系知x₁+x₂=4a-4，x₁x₂=11-4a，根據(jù)$\frac{OM}{OA}$$•\frac{ON}{OA}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{A}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{A}}$得到OM•ON=$\frac{1}{2}$OA²，得到結果為定值

解答 解：（1）∵直線y=kx+3k（k＞$\frac{1}{4}$）過點A，
∴y=0時，0=kx+3k，
解得：x=-3，
∴A（-3，0），
把點A的坐標代入y=ax²+4ax+$\frac{3}{4}$，得
9a-12a+$\frac{3}{4}$=0，
解得：a=$\frac{1}{4}$，
拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²+x+$\frac{3}{4}$；
（2）如圖1，，
當y=0時，$\frac{1}{4}$x²+x+$\frac{3}{4}$=0，解得x=-3，x=-1，即A（-3，0），B（-1，0）．
設AM的解析式為y=kx+b，將A、M點的坐標代入，得
AM的解析式為y=$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$．
①當∠DQB=∠OMA時，QB∥OM，Q點的橫坐標等于B點的橫坐標-1，
當x=-1時，y=2$\sqrt{3}$，即Q（-1，2$\sqrt{3}$）；
②當∠DQB=∠A時，設Q點的坐標為（m，$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$）．
AB=BQ，即（m+1）²+（$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$）²=4，化簡得m²+5m+6=0．
解得m=-2，m=-3（不符合題意，舍），
當m=-2時，$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，即Q（-2，$\sqrt{3}$），
綜上所述：當△DBQ與△AOM相似時點Q的坐標（-1，2$\sqrt{3}$），（-2，$\sqrt{3}$）；
（3）直線PC解析式為y=ax+a-2，與拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+x+$\frac{3}{4}$聯(lián)立消去y得：x²-4（a-1）x+11-4a=0，
∴x₁+x₂=4a-4，x₁x₂=11-4a，
∵$\frac{OM}{OA}$$•\frac{ON}{OA}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{A}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{A}}$
=$\frac{\frac{1}{4}（{x}_{1}+1）（{x}_{1}+3）×\frac{1}{4}（{x}_{2}+1）（{x}_{2}+3）}{（{x}_{1}+3）（{x}_{2}+3）}$
=$\frac{1}{16}$（x₁+1）（x₂+1）
=$\frac{1}{16}$（11-4a+4a-4+1）
=$\frac{1}{2}$，
∴OM•ON=$\frac{1}{2}$OA²=$\frac{9}{2}$．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題型，二次函數(shù)與三角形相似以及一元二次方程等知識的綜合運用，熟練的運用數(shù)形結合是解決問題的關鍵．