Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，且AE=DF，連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H．下列結(jié)論：
①△ABD是正三角形；②若AF=2DF，則EG=2DG；③△AED≌△DFB；④S_{四邊形BCDG}=

3

4

CG²；
其中正確的結(jié)論是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：①由ABCD為菱形，得出AB=AD，AB=BD，得出ABD為等邊三角形；
②過(guò)點(diǎn)F作FP∥AE于P點(diǎn)，根據(jù)題意有DP：PE=DF：DA=1：2，而點(diǎn)G與點(diǎn)P不重合，否則與與原題矛盾，所以EG=2DG錯(cuò)誤；
③△ABD為等邊三角形，根據(jù)“SAS”證明△AED≌△DFB；
④證明∠BGE=60°=∠BCD，從而得點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，因此∠BGC=∠DGC=60°，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．證明△CBM≌△CDN，所以S_{四邊形BCDG}=S_{四邊形CMGN}，易求后者的面積．

解答：解：①∵ABCD為菱形，∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴△ABD為等邊三角形．
故本小題正確；

②過(guò)點(diǎn)F作FP∥AE于P點(diǎn)，

DP：PE=DF：DA=1：2，
而點(diǎn)G與點(diǎn)P不重合，否則與與原題矛盾，
所以EG=2DG錯(cuò)誤；

③∵△ABD為等邊三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
又∵AE=DF，AD=BD，
∴△AED≌△DFB，故本小題正確；

④∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．
∴∠BGC=∠DGC=60°．
過(guò)點(diǎn)C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．

則△CBM≌△CDN，（AAS）
∴S_{四邊形BCDG}=S_{四邊形CMGN}．
S_{四邊形CMGN}=2S_△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=

1

2

CG，CM=

3

2

CG，
∴S_{四邊形CMGN}=2S_△CMG=2×

1

2

×

1

2

CG×

3

2

CG=

3

4

CG²，故本小題正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形，把不規(guī)則圖形的面轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等三角形的面積是解題的關(guān)鍵．