Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，點(diǎn)Q在AB上，且AQ=2，過Q做QR⊥AB，垂足為Q，QR交折線AC-CB于R（如圖1），當(dāng)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位向終點(diǎn)B移動時(shí)，點(diǎn)P同時(shí)從A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位的速度沿AB-BC-CA移動，設(shè)移動時(shí)間為t秒（如圖2）．

（1）求△BCQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（2）t為何值時(shí)，QP∥AC？
（3）t為何值時(shí)，直線QR經(jīng)過點(diǎn)P？
（4）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時(shí)，以PQ為邊在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC內(nèi)部，求此時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）過C作CD垂直于AB于D點(diǎn)，由AB及AQ的長，利用AB-AQ表示出QB的長，直角三角形ABC的面積有兩種求法，兩直角邊乘積的一半，或斜邊乘以斜邊上的高的一半，兩種求法表示的面積相等可得出CD的長，三角形BQC以QB為底邊，CD為高，利用三角形的面積公式即可求出；
（2）當(dāng)PQ∥AC時(shí)，利用兩直線平行得到兩對同位角相等，由兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△BPQ∽△BCA，由相似得比例，將各自的值代入列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值；
（3）分三種情況討論即可：①當(dāng)Q、P均在AB上時(shí)，可得出AP=6t，AQ=2+2t，令A(yù)P=AQ列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到此時(shí)t的值；②當(dāng)P在BC上時(shí)，如圖所示，由一對直角相等及一對公共角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形BPQ與三角形ABC相似，由相似得比例，將各自的值代入列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到此時(shí)t的值；③當(dāng)P在AC上不存在QR經(jīng)過點(diǎn)P，綜上，得到所有滿足題意的t的值；
（4）抓住兩種臨界情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)時(shí)，若點(diǎn)N落在AC上，則PQ=2+2t-6t=2-4t，由△APN∽△ACB得=，求出此時(shí)的t值；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)，若點(diǎn)N落在BC上，則由△BPN∽△BCA得=，進(jìn)而求出此時(shí)的t值，綜上兩種情況，可得出以PQ為邊在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC內(nèi)部時(shí)t的取值范圍．
解答：解：（1）過C作CD⊥AB于D點(diǎn)，如圖所示：

∵AB=10，AQ=2+2t，
∴QB=AB-AQ=10-（2+2t）=8-2t，
在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，
根據(jù)勾股定理得：BC=6，
∵AC•BC=AB•CD，即×6×8=×10×CD，
∴CD=，
則S_△BCQ=QB•CD=（8-2t）=-t+（0≤t≤8）；

（2）當(dāng)PQ∥AC時(shí)，可得∠BPQ=∠C，∠BQP=∠A，
∴△BPQ∽△BCA，又BQ=8-2t，BP=6t-10，
∴=，即=，
整理得：6（8-2t）=10（6t-10），
解得：t=，
則t=時(shí)，QP∥AC；


（3）①當(dāng)Q、P均在AB上時(shí)，AP=6t，AQ=2+2t，
可得：AP=AQ，即6t=2+2t，
解得：t=0.5s；
②當(dāng)P在BC上時(shí)，P與R重合，如圖所示：

∵∠PQB=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BPQ∽△BAC，
∴=，又BP=6t-10，AB=10，BQ=8-2t，BC=6，
∴=，即6（6t-10）=10（8-2t），
解得：t=2.5s；
③當(dāng)P在AC上不存在QR經(jīng)過點(diǎn)P，
綜上，當(dāng)t=0.5s或2.5s時(shí)直線QR經(jīng)過點(diǎn)P；

（4）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)時(shí)，若點(diǎn)N落在AC上，如圖所示：

∵AP=6t，AQ=2+2t，
∴PQ=AQ-AP=2+2t-6t=2-4t，
∵四邊形PQMN是正方形，
∴PN=PQ=2-4t，
∵∠APN=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△APN∽△ACB，
∴=，即=，
解得：t=，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)，若點(diǎn)N落在BC上，如圖所示：

由題意得：BP=10-6t，PN=PQ=4t-2，
∵∠BPN=∠BCA=90°，∠B=∠B，
∴△BPN∽△BCA，
∴=，即=，
整理得：8（10-6t）=6（4t-2），
解得：t=，
∵t=0.5時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，
∴≤t≤且t≠0.5時(shí)正方形PQMN在Rt△ABC內(nèi)部．
點(diǎn)評：本題是一道綜合性較強(qiáng)的題目，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及正方形的性質(zhì)，是中考壓軸題，難度較大．