Question

如圖（1），在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，延長CB到E，使EB=AD，連結(jié)AE．
（1）求證：AE=AC；
（2）如圖（2），若恰有AC平分∠BCD，AC⊥AB，AD=2，求：①AB的長；②AC的長；③梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）連接BD，可證明四邊形ADBE為平行四邊形，則AE=BD，再根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)題意可得出∠ACB=∠DCA=∠DAC，則可得AB=CD=AD=2；
②由①易求得∠ACB=30°，從而得出BC=2AD，然后由勾股定理求得AC的長；
③首先求得高AD的長，繼而求得梯形ABCD的面積．

解答：解：（1）連接BD，
∵AD∥BC，EB=AD，
∴四邊形ADBE為平行四邊形，
∴AE=BD，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴AE=AC；

（2）①∵AD∥BC，AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠DCA=∠DAC，
∴AB=CD=AD=2；

②∵梯形ABCD是等腰梯形，AC⊥AB，
∴∠ABC=∠BCD=2∠ACB，
∴∠ACB+∠ABC=3∠ACB=90°，
∴∠ACB=30°，
∴BC=2AB=2AD=4，
∴AC=

BC2-AB2

=2

3

；

③過點A作AE⊥BC于點E，
∴AE=

AB•AC

BC

=

3

，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•AE=

1

2

×（2+4）×

3

=3

3

．

點評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．