Question

如圖，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A、C分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn)．P（0，m）是線(xiàn)段OC上一動(dòng)點(diǎn)（C點(diǎn)除外），直線(xiàn)PM交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)△APD是以AP為腰的等腰三角形時(shí)，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,等腰三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）證明Rt△PMC≌Rt△DMB，即可證明DB=2-m，AD=4-m，從而求解；
（2）分AP=AD，PD=PA，PD=DA三種情況，根據(jù)勾股定理即可求解．

解答：解：（1）由題意得CM=BM，
∵∠PMC=∠DMB，
∴Rt△PMC≌Rt△DMB，
∴DB=PC，
∴DB=2-m，AD=4-m，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，4-m）．

（2）分三種情況
①若AP=AD，則4+m²=（4-m）²，解得m=

3

2

；
②若PD=PA
過(guò)P作PF⊥AB于點(diǎn)F（如圖），
則AF=FD=

1

2

AD=

1

2

（4-m）
又∵OP=AF，
∴m=

1

2

（4-m）則m=

4

3

③若PD=DA，
∵△PMC≌△DMB，
∴PM=

1

2

PD=

1

2

AD=

1

2

（4-m），
∵PC²+CM²=PM²，
∴（2-m）²+1=

1

4

（4-m）²，
解得m₁=

2

3

，m₂=2（舍去）．
綜上所述，當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí)，m的值為

3

2

或

4

3

或

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，以及分類(lèi)討論思想的滲透．