Question

如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：
（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：

 

；
（2）在圖2中，若∠D=42°，∠B=38°，試求∠P的度數(shù)；
（3）如果圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試寫出∠P與∠D、∠B之間數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠AOD=180°-∠A-∠D，∠BOC=180°-∠C-∠B，然后根據(jù)對頂角相等得到180°-∠A-∠D=180°-∠C-∠B，再整理得到∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）理由（1）中的結(jié)論得到∠1+∠2+∠D=∠3+∠4+∠B，∠1+∠D=∠3+∠P，再利用角平分線的定義得∠1=∠2，∠3=∠4，則2∠1+∠D=2∠3+∠B，由于2∠1+2∠D=2∠3+2∠P，利用等式的性質(zhì)得到2∠P=∠B+∠D，即∠P=

1

2

（∠B+∠D），然后把∠D=42°，∠B=38°代入計算；
（3）與（2）的證明方法一樣得到∠P=

1

2

（∠B+∠D）．

解答：解：（1）∵∠AOD=180°-∠A-∠D，∠BOC=180°-∠C-∠B，
而∠AOD=∠BOC，
∴180°-∠A-∠D=180°-∠C-∠B，
∴∠A+∠D=∠B+∠C；
故答案為∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）根據(jù)（1）知，∠1+∠2+∠D=∠3+∠4+∠B，∠1+∠D=∠3+∠P，
∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠1+∠D=2∠3+∠B，
而2∠1+2∠D=2∠3+2∠P，
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=

1

2

（∠B+∠D）=

1

2

（42°+38°）=40°；
（3）∠P=

1

2

（∠B+∠D）．理由與（2）一樣．

點評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．