Question

如圖，圓內(nèi)接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點(diǎn)F，OE⊥AC于點(diǎn)G，陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC的面積的

 

．

Answer 1

分析：首先連接OG，根據(jù)垂徑定理的知識(shí)，易證得Rt△OCG≌Rt△OCF，設(shè)OG=a，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)與等邊三角形的知識(shí)，即可求得陰影部分四邊形OFCG的面積與△ABC的面積，繼而求得答案．

解答：解：連接OC，
∵AB=BC=CA，
∴∠ACB=60°，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴CG=

1

2

AC，CF=

1

2

BC，
∴CG=CF，
∵OC=OC，
∴Rt△OCG≌Rt△OCF，
∴∠ACO=∠BCO=30°，
∴OG=

1

2

OC，
設(shè)OG=a，OC=2a，CG=

3

a，
∴S_△ABC=

1

2

BC•

3

2

BC=

1

2

×2

3

a×

3

2

×2

3

a=3

3

a²，
S_{四邊形CGOF}=S_△OCG+S_△OCF=2S_△OCG=2×

1

2

×a×

3

a=

3

a²，
∴陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC的面積的

1

3

．
故答案為：

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．