Question

19．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，C是優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，設(shè)∠OAB=α，∠C=β．
（1）當(dāng)α=40°時(shí)，求β的度數(shù)；
（2）猜想α與β之間的關(guān)系，并給予證明．
（3）若點(diǎn)C平分優(yōu)弧AB，且BC²=3OA²，試求α的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）連接OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠AOB的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理計(jì)算即可；
（2）根據(jù)圓周角定理解答；
（3）過(guò)O作OK⊥AC于K，連接OC，利用銳角三角函數(shù)的定義求出∠OAC=∠OCA=30°即可．

解答 解：（1）如圖1，連接OB，
∵OA=OB，∠OAB=40°，
∴∠OBA=∠OAB=40°，
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA，
∴∠AOB=180°-40°-40°=100°，
∴β=∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=50°；
（2）α與β之間的關(guān)系是α+β=90°；
證明：∵∠OBA=∠OAB=α，
∴∠AOB=180°-2α，
∵β=∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴β=（180°-2α）=90°-α，
∴α+β=90°；
（3）∵點(diǎn)C平分優(yōu)弧AB，
∴AC=BC，
∵BC²=3OA²，
∴AC=BC=$\sqrt{3}$OA，
過(guò)O作OK⊥AC于K，連接OC，
由垂徑定理可知：AK=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠ACB=2∠ACO=2∠CAO=60°，
∴△ABC為正三角形，
則α=∠CAB-∠CAO=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形的外接圓和外心，掌握?qǐng)A周角定理、等邊三角形的判定定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．