Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=10，將∠MPN的頂點(diǎn)P在矩形ABCD的邊AD上滑動(dòng)，在滑動(dòng)過程中，始終保持∠MPN=90°，射線PN經(jīng)過點(diǎn)C，射線PM交直線AB于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F．
（1）求證：△AEP∽△DPC；
（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)E與點(diǎn)B能重合嗎？如果能重合，求DP的長；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)P使△DPC的面積等于△AEP面積的4倍？若存在，求出AP的長；若不存在，請證明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，推出∠D=∠A=90°，再由直角三角形的性質(zhì)，得出∠PCD+∠DPC=90°，又因∠CPE=90°，推出∠EPA+∠DPC=90°，∠PCD=∠EPA，從而證明△CDP∽△PAE；
（2）利用當(dāng)B，E重合時(shí)，利用已知得出△ABP∽DPC，進(jìn)而求出DP的長即可；
（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，設(shè)DP=x，則AP=10-x，由△CDP∽△PAE知，求出DP即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，
∴∠PCD+∠DPC=90°，
又∵∠CPE=90°，
∴∠EPA+∠DPC=90°，
∴∠PCD=∠EPA，
∴△AEP∽△DPC．

（2）假設(shè)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)E能與點(diǎn)B重合，
當(dāng)B，E重合時(shí)，
∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠DCP=∠APB，
∵∠A=∠D，
∴△ABP∽DPC，
∴

AB

PD

=

AP

CD

，
即：

4

DP

=

10-DP

4

，
解得：DP=2或8，
∴B，E重合時(shí)DP的長為2或8；

（3）存在滿足條件的點(diǎn)P，
∵△CDP∽△PAE，
根據(jù)使△DPC的面積等于△AEP面積的4倍，得到兩三角形的相似比為2，
∴

CD

AP

=2，
即

3

AP

=2，
解得AP=1.5；

點(diǎn)評：題考查了矩形的性質(zhì)以及三角形的相似性質(zhì)以及線段最值問題，根據(jù)已知得出假設(shè)當(dāng)B，E重合時(shí)利用相似三角形的判定得出是解題關(guān)鍵．