Question

等腰Rt△ACB中，∠ACB=90°，點(diǎn)D、F為BC邊上兩點(diǎn)，且CD=BF，連接AD，過點(diǎn)C作AD垂線交AB于E，連接EF．
（1）若∠DAB=15°，AB=2

6

，求線段DF的長；
（2）求證：∠EFB=∠CDA．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠CAD=30°，∠ACE=60°，∠BCE=30°，進(jìn)而求出CD的長，再利用CD+BF-DF=BC求出即可；
（2）利用全等三角形的判定得出△ACD≌△CBG（ASA），以及△FBE≌△GBE（SAS），進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)求出即可．

解答：（1）解：在等腰直角△ACB中，
∵AB=2

6

，
∴AC=CB=2

3

，
∵∠DAB=15°，
∴∠CAD=30°，∠ACE=60°，∠BCE=30°，
在Rt△ACD中，CD=

AC

tan30°

=

AC

3

=2=BF，
∵CD+BF-DF=BC，
∴2+2-DF=2

3

，
∴DF=4-2

3

；

（2）證明：如圖，過點(diǎn)B作BC的垂線交CE延長線于點(diǎn)G，
在△ACD和△CBG中，

∠1=∠2 AC=BC ∠ACD=∠CBG

，
∴△ACD≌△CBG（ASA），
∴∠CDA=∠G，CD=BG，
∵CD=BF，
∴BG=BF，
∵∠CBA=45°，∠CBG=90°，
∴∠GBE=45°，
在△FBE和△GBE中，

BF=BG ∠FBE=∠GBE BE=BE

，
∴△FBE≌△GBE（SAS），
∴∠G=∠EFB，
∴∠CDA=∠EFB．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，得出△FBE≌△GBE是解題關(guān)鍵．