在平面直角坐標系xOy中,已知 A(-2,0),B(2,0),AC⊥AB于點A,AC=2,BD⊥AB于點B,BD=6,以AB為直徑的半圓O上有一動點P(不與A、B兩點重合),連接PD、PC,我們把由五條線段AB、BD、DP、PC、CA所組成的封閉圖形ABDPC叫做點P的關聯(lián)圖形,如圖1所示.
(1)如圖2,當P運動到半圓O與y軸的交點位置時,求點P的關聯(lián)圖形的面積.
(2)如圖3,連接CD、OC、OD,判斷△OCD的形狀,并加以證明.
(3)當點P運動到什么位置時,點P的關聯(lián)圖形的面積最大,簡要說明理由,并求面積的最大值.
(1)12;(2)判斷△OCD是直角三角形,證明見解析;(3)連接OC,交半圓O于點P,這時點P的關聯(lián)圖形的面積最大,理由風解析,.
【解析】
試題分析:(1)當P運動到半圓O與y軸的交點位置時,點P的關聯(lián)圖形是正方形AOPC+梯形OPDB,據(jù)此求解.
(2)證明OC⊥CD,作出判斷.
(3)連接CD,因為梯形ACDB的面積為定值,故要使點P的關聯(lián)圖形的面積最大,就要使△PCD的面積最小,則連接OC交半圓O于點P,應用三角形三邊關系可證明點P為所確定的點的位置,從而由點P的關聯(lián)圖形的最大面積是梯形ACDB的面積-△PCD的面積求得點P的關聯(lián)圖形的最大面積.
試題解析:(1)∵A(-2,0),∴OA=2,
∵P是半圓O上的動點,P在y軸上,
∴OP=2, ∠AOP=90°.
∵AC=2,∴四邊形AOPC是正方形.∴正方形的面積是4.
又∵BD⊥AB,BD=6,∴梯形OPDB的面積= ,
∴點P的關聯(lián)圖形的面積是12.
(2)判斷△OCD是直角三角形,證明如下:
如圖,延長CP交BD于點F.則四邊形ACFB為矩形,
∴CF=DF=4,∠DCF=45°,四邊形AOPC是正方形,
∴∠OCP=45°.
∴∠OCD=90°.∴OC⊥CD.
∴△OCD是直角三角形.
(3)連接OC交半圓O于點P,則點P為所確定的點的位置,理由如下:
如圖,連接CD,梯形ACDB的面積=為定值,
要使點P的關聯(lián)圖形的面積最大,就要使△PCD的面積最小,
∵CD為定長,∴P到CD的距離就要最小.
連接OC,設交半圓O于點P,
∵AC⊥OA,AC=OA, ∴∠AOC=45°.
過C作CF⊥BD于F,則ACFB為矩形,∴CF=DF=4, ∠DCF=45°.∴OC⊥CD,OC=2.
∴PC在半圓外.
設在半圓O上的任意一點P′到CD的距離為P′H,
則P′H+P′O>OH>OC.
∵OC=PC+OP, ∴P′H> PC,.
∴當點P運動到半圓O與OC的交點位置時,點P的關聯(lián)圖形的面積最大.
∵CD=4,CP=2-2, ∴△PCD的面積=.
又∵梯形ACDB的面積=,
∴點P的關聯(lián)圖形的最大面積是梯形ACDB的面積-△PCD的面積=.
考點:1.新定義和閱讀理解型問題;2.動點問題;3.正方形、矩形的判定和性質(zhì);4.直角三角形的判定;5.三角形三邊關系;6.轉(zhuǎn)換思想的應用.
科目:初中數(shù)學 來源:2014年北京市海淀區(qū)中考二模數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
為了滿足廣大手機用戶的需求,某移動通信公司推出了三種套餐,資費標準如下表所示:
套餐資費標準 | |||||||
月套餐類型 | 套餐費用 | 套餐包含內(nèi)容 | 超出套餐后的費用 | ||||
本地主叫市話 | 短信 | 國內(nèi)移動數(shù)據(jù)流量 | 本地主叫市話 | 短信 | 國內(nèi)移動數(shù)據(jù)流量 | ||
套餐一 | 18元 | 30分鐘 | 100條 | 50兆 | 0.1元/ 分鐘 | 0.1元/條 | 0.5元/兆 |
套餐二 | 28元 | 50分鐘 | 150條 | 100兆 | |||
套餐三 | 38元 | 80分鐘 | 200條 | 200兆 | |||
小瑩選擇了該移動公司的一種套餐,下面兩個統(tǒng)計圖都反映了她的手機消費情況.
(1)已知小瑩2013年10月套餐外通話費為33.6元,則她選擇的上網(wǎng)套餐為________套餐(填“一”、“二”或“三”);
(2)補全條形統(tǒng)計圖,并在圖中標明相應的數(shù)據(jù);
(3)根據(jù)2013年后半年每月的消費情況,小瑩估計自己每月本地主叫市話通話大約430分鐘,發(fā)短信大約240條,國內(nèi)移動數(shù)據(jù)流量使用量大約為120兆,除此之外不再產(chǎn)生其他費用,則小瑩應該選擇________套餐最劃算(填“一”、“二”或“三”);選擇該套餐后,她每月的手機消費總額約為________元.
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科目:初中數(shù)學 來源:2014年北京市房山區(qū)中考二模數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
從1.2. 3.4.5這五個數(shù)中隨機取出一個數(shù),取出的數(shù)是某個整數(shù)的平方數(shù)的概率是 ( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學 來源:2014年北京市房山區(qū)中考一模數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
如圖,點P1(x1,y1),點P2(x2,y2),…,點Pn(xn,yn)都在函數(shù)(x>0)的圖象上,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…,△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形,斜邊OA1,A1A2,A2A3,…,An﹣1An都在x軸上(n是大于或等于2的正整數(shù)),已知點A1的坐標為(2,0),則點P1的坐標為 ;點P2的坐標為 ;點Pn的坐標為 (用含n的式子表示).
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科目:初中數(shù)學 來源:2014年北京市房山區(qū)中考一模數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
將二次函數(shù)化為的形式,下列結(jié)果正確的是[( )]
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學 來源:2014年北京市懷柔區(qū)中考一模數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
學生的上學方式是初中生生活自理能力的一種反映.為此,懷柔區(qū)某初三數(shù)學老師組織本班學生,運用他們所學的統(tǒng)計知識,對初一學生上學的四種方式:騎車、步行、乘車、接送,進行抽樣調(diào)查,并將調(diào)查的結(jié)果繪制成圖(1)、圖(2).請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)抽樣調(diào)查的樣本容量為________,其中步行人數(shù)占樣本容量的_____%,騎車人數(shù)占樣本容量的_____%.
(2)請將圖(1)補充完整.
(3)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果,你估計該校初一年級800名學生中,大約有多少名學生是由家長接送上學的?
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科目:初中數(shù)學 來源:2014年北京市懷柔區(qū)中考一模數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知:如圖,點A、B、C在同一直線上,AD∥CE,AD=AC,∠D=∠CAE.
求證:DB=AE.
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科目:初中數(shù)學 來源:2014年北京市平谷區(qū)中考一模數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
由平谷統(tǒng)計局2013年12月發(fā)布的數(shù)據(jù)可知,我區(qū)的旅游業(yè)蓬勃發(fā)展,以下是根據(jù)近幾年我區(qū)旅游業(yè)相關數(shù)據(jù)繪制統(tǒng)計圖的一部分:
請你根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)計算2012年平谷區(qū)旅游區(qū)點營業(yè)收入占全區(qū)旅游營業(yè)收入的百分比,并補全扇形統(tǒng)計圖;
(2)2012年旅游區(qū)點的收入為2.1萬元,請你計算2012年平谷區(qū)旅游營業(yè)收入,并補全條形統(tǒng)計圖 (結(jié)果保留一位小數(shù)) ;
(3)如果今年我區(qū)的旅游營業(yè)收入繼續(xù)保持2013年的增長趨勢,請你預測我區(qū)今年的旅游營業(yè)收入 (結(jié)果保留一位小數(shù)) .
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科目:初中數(shù)學 來源:2014年北京市密云縣中考一模數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
如圖,下列水平放置的幾何體中,俯視圖是三角形的是( )
A. B. C. D.
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