Question

如圖，若P是邊長為a的等邊△ABC內的任一點，P到三邊的距離為PD、PE、PF，求證：
（1）PD+PE+PF=

3

2

a
（2）AD+BE+CF=

3

2

a．

Answer 1

考點：等邊三角形的性質

專題：證明題

分析：（1）連接PA、PB、PC，則△ABC被分割成三個三角形，根據(jù)S_△PAB+S_△PBC+S_△PAC=S_△ABC，即：

1

2

a•PD+

1

2

a•PE+

1

2

a•PF=

3

4

a²，可得PD+PE+PF=

3

2

a；
（2）根據(jù)勾股定理得：BE²+PE²=PB²=BF²+PF²①，CF²+PF²=PC²=CD²+PD²②，AD²+PD²=PA²=AE²+PE²③，再由①+②+③得出BE²+CF²+AD²=BF²+CD²+AE²，整理后即可得出結論．

解答：證明：（1）連接PA、PB、PC，則△ABC被分割成三個三角形，如圖所示：
∵S_△PAB+S_△PBC+S_△PAC=S_△ABC，S_△ABC=

3

4

a²，BE²+CF²+AD²=BF²+CD²+AE²，
即：

1

2

a•PD+

1

2

a•PE+

1

2

a•PF=

3

4

a²，
∴PD+PE+PF=

3

2

a；
（2）根據(jù)勾股定理得：
BE²+PE²=PB²=BF²+PF²①，
CF²+PF²=PC²=CD²+PD²②，
AD²+PD²=PA²=AE²+PE²③，
①+②+③得：BE²+CF²+AD²=BF²+CD²+AE²，
∴BE²+CF²+AD²=（a-CF）²+（a-AD）²+（a-BE）²=（a²-2CF•a+CF²）+（a²-2AD•a+AD²）+（a²-2BE•a+BE²）
整理得：2a（AD+BE+CF）=3a²
∴AD+BE+CF=

3

2

a．

點評：本題考查了等邊三角形的性質、三角形面積的計算方法以及勾股定理的運用；本題綜合性強，難度很大，有利于培養(yǎng)學生鉆研和探索問題的精神．