Question

如圖所示，直線l過A（4，0）和B（0，4）兩點(diǎn)，它與二次函數(shù)y=ax²的圖象在第一象限內(nèi)交于P點(diǎn)，若△AOP的面積為

9

2

．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）能否將拋物線y=ax²上下平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：

分析：（1）由題意直線l過點(diǎn)A（4，0）和B（0，4）兩點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再根據(jù)△AOP的面積為

9

2

求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，然后將它代入直線AB的解析式，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=ax²，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；
（3）設(shè)將拋物線y=ax²上下平移后的解析式為y=ax²+m，把點(diǎn)A坐標(biāo)代入，求出m的值即可．

解答：解：（1）設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b，
∵直線l過點(diǎn)A（4，0）和B（0，4）兩點(diǎn)，
∴4k+b=0，b=4，
∴k=-1，b=4，
∴y=-x+4，
∵△AOP的面積為

9

2

，
∴

1

2

×4×y_p=

9

2

，
∴y_p=

9

4

，
∴

9

4

=-x+4，
解得x=

7

4

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

7

4

，

9

4

）；

（2）把點(diǎn)P（

7

4

，

9

4

）代入y=ax²，
得

9

4

=a×（

7

4

）²，
解得a=

36

49

，
故二次函數(shù)的解析式為y=

36

49

x²；

（3）設(shè)將拋物線y=

36

49

x²上下平移后的解析式為y=

36

49

x²+m，
把點(diǎn)A（4，0）代入，得y=

36

49

×4²+m，
解得m=-

576

49

，
故能將拋物線y=ax²向下平移

576

49

個(gè)單位長度，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A．

點(diǎn)評(píng)：此題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，同時(shí)也考查了學(xué)生的計(jì)算能力．