Question

如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，P為DC延長線上一點，AP分別交BD，BC于點M，N．
（1）圖中相似三角形共有______對；
（2）證明：AM²=MN•MP；
（3）若AD=6，DC﹕CP=2﹕1，求BN的長．

Answer 1

（1）解：6；
有△AMB∽△PMD，△ADM∽△NBM，△ABN∽△PCN∽△PDA，△ABD≌△CDB，
∴共6對；

（2）證明：∵AD∥BC，
∴∠ADM=∠NBM，∠DAM=∠BNM，
∴△ADM∽△NBM，
∴=；
∵AB∥DC，
∴∠P=∠BAM，∠MDP=∠ABM，
∴△PDM∽△ABM，
∴=，
∴=，
∴AM²=MN•MP；

（3）解：∵AD∥BC，
∴∠PCN=∠PDA，∠P=∠P，
∴△PCN∽△PDA，
∴=，
∵DC：CP=2：1，
∴==；
又∵AD=6
∴NC=2，BN=4．
分析：（1）根據(jù)相似三角形的判定定理來做：△ADB∽△CBD、△ABN∽△PCN、△ADM∽△NBM、△AMB∽△PMD、△APD∽△ABN；
（2）由四邊形ABCD是平行四邊形的性質(zhì)來證明△ADM∽△NBM、△PDM∽△ABM；再由相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)知：=、=，所以AM²=MN•MP．
（3）由四邊形ABCD是平行四邊形的性質(zhì)來證明△PCN∽△PDA；再由相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)知：=；最后根據(jù)已知條件求解即可．
點評：本題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)：對邊平行且相等和內(nèi)錯角相等；相似三角形的判定與性質(zhì)．