Question

已知AB是⊙O的直徑，AB=4，點C在線段AB的延長線上運動，點D在⊙O上運動（不與點B重合），連接CD，且CD=OA．
（1）當OC=2

2

時（如圖），求證：CD是⊙O的切線；
（2）當OC＞2

2

時，CD所在直線與⊙O相交，設另一交點為E，連接AE．，當D為CE中點時，求△ACE的周長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：動點型

分析：（1）直接利用勾股定理的逆定理進而得出△ODC是直角三角形，求出CD是切線即可；
（2）利用等邊三角形的判定以及勾股定理分別求出AE，CO的長，進而得出答案．

解答：（1）證明：連接DO，
∵AB是⊙O的直徑，AB=4，CD=OA，
∴CD=OD=2，
∴DO²+CD²=CO²，
∴△ODC是直角三角形，
∴∠ODC=90°，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：如圖2，連接EO，DO，
∵D為CE中點，CD=OA，
∴EO=DO=CD=DE，
∴△EOD是等邊三角形，
∵DO=ED=CD，
∴△EOC是直角三角形，
∴∠AOE=∠EOC=90°，
∴AE=

22+22

=2

2

，OC=

EC2-EO2

=2

3

，
∴△ACE的周長為：AE+EC+AC=2

2

+4+2

3

+2=6+2

2

+2

3

．

點評：此題主要考查了勾股定理以及切線的判定等知識，得出∠EOC=90°是解題關鍵．