Question

如圖，已知：⊙O₁與⊙O₂外切于點(diǎn)O，以直線O₁O₂為x軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，直線AB切⊙O₁于點(diǎn)B，切⊙O₂于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C（0，2），交x軸于點(diǎn)M．BO的延長(zhǎng)線交⊙O₂于點(diǎn)D，且OB：OD=1：3．
（1）求⊙O₂半徑的長(zhǎng)；
（2）求線段AB的解析式；
（3）在直線AB上是否存在點(diǎn)P，使△MO₂P與△MOB相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)與此時(shí)k=

S△MO2P

S   △MOB

的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接BO₁，DO₂，O₂A作O₁N⊥O₂A于N，連接OA，根據(jù)切線長(zhǎng)定理求出AB的長(zhǎng)，設(shè)O₁B為r，根據(jù)勾股定理得到方程（4r）²-（2r）²=4²，求出方程的解即可；
（2）求出∠CMO=∠NO₁O₂=30°，求出OM，設(shè)AB的解析式是y=kx+b，把C、M的坐標(biāo)代入得到方程組，求出方程組的解即可；
（3）①∠MO₂P=30°，過B作BQ⊥OM于Q，求出MQ，BQ，過P'作P'W⊥X軸于W，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PW即可得到P的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出k即可；②∠MO₂P=120°，過P作PZ⊥X軸于Z，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出PZ，即可得到P的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出k即可．

解答：解：（1）連接BO₁，O₂A作O₁N⊥O₂A于N，連接OA，
∵直線AB切⊙O₁于點(diǎn)B，切⊙O₂于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C（0，2），
∴CA=CB，CA=CO（切線長(zhǎng)定理），
∴CA=CB=CO，
∴AB=2OC=4，
設(shè)O₁B為r，由O₁O₂²-O₂N²=O₁N²得（4r）²-（2r）²=4²，
解得r=

2 3

3

，3r=2

3

，
答：⊙O₂的半徑的長(zhǎng)為2

3

．

（2）∵O₂N=3r-r=2r，O₁O₂=r+3r=4r，
∴∠NO₁O₂=30°，
∴∠CMO=∠NO₁O₂=30°，
∵OM=

OC

tan30°

=2

3

，
M（-2

3

，0），
設(shè)線段AB的解析式是y=kx+b，
把C、M的坐標(biāo)代入得：

0=-2 3 k+b 2=b

，
解得：k=

3

3

，b=2，
∴線段AB的解析式為y=

3

3

x+2（-

3

≤x≤

3

）；

（3）△MOB是頂角為120°的等腰三角形，其底邊的長(zhǎng)為2

3

，
假設(shè)滿足條件的點(diǎn)P存在，
①∠MO₂P=30°，
過B作BQ⊥OM于Q，
∵OB=MB，
∴MQ=OQ=

3

，
∵∠BMO=30°，
∴BQ=1，BM=2，
過P'作P'W⊥X軸于W，
∴P'W∥BQ，
∴

BQ

PW

=

MQ

MO

=

1

2

，
∴P'W=2，
即P'與C重合，
P'（0，2），
∴k=(

2

1

)2=4；
②∠MO₂P=120°，
過P作PZ⊥X軸于Z，
PO₂=O₂M=4

3

，∠PO₂Z=60°，
∴O₂Z=2

3

，
由勾股定理得：PZ=6，
∴P（4

3

，6），
∴k=(

4 3

2

)2=12，
答在直線AB上存在點(diǎn)P，使△MO₂P與△MOB相似，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，2）或（4

3

，6），k的值是4或12．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)的連接和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．