Question

如圖，已知A，B兩點的坐標分別為（2，0），（0，2），⊙C的圓心坐標為（-1，0），半徑為1．若D是⊙C上的一個動點，線段DA與y軸交于點E，則△ABE面積的最小值是

2-

2

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)三角形的面積公式，△ABE底邊BE上的高AO不變，BE越小，則面積越小，可以判斷當AD與⊙C相切時，BE的值最小，根據(jù)勾股定理求出AD的值，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出OE的長度，代入三角形的面積公式進行計算即可求解．

解答：解：如圖所示，當AD與⊙C相切時，線段BE最短，此時△ABE面積的最小，
∵A（2，0），C（-1，0），⊙C半徑為1，
∴AO=2，AC=2+1=3，CD=1，
在Rt△ACD中，AD=

AC2-CD2

=

32-12

=2

2

，
∵CD⊥AD，
∴∠D=90°，
∴∠D=∠AOE，
在△AOE與△ADC中，

∠D=∠AOE ∠EAO=∠CAD

，
∴△AOE∽△ADC，
∴

EO

CD

=

AO

AD

，
即

EO

1

=

2

2 2

，
解得EO=

2

2

，
∵點B（0，2），
∴OB=2，
∴BE=OB-OE=2-

2

2

，
∴△ABE面積的最小值=

1

2

×BE×AO=

1

2

（2-

2

2

）×2=2-

2

2

．
故答案為：2-

2

2

．

點評：本題考查了坐標與圖形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出OE的長度是解題的關鍵．