Question

如圖，矩形OABC中，點O為原點，點A的坐標為（0，8），點C的坐標為（6，0）．拋物線y_＝－  x ²＋bx＋c經(jīng)過A、C兩點，與AB邊交于點D．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）點P為線段BC上一個動點（不與點C重合），點Q為線段AC上一個動點，AQ＝CP，連接PQ，設(shè)CP＝m，△CPQ的面積為S．

①求S關(guān)于m的函數(shù)表達式，并求出m為何值時，S取得最大值；

②當S最大時，在拋物線y_＝－  x ²＋bx＋c的對稱軸l上若存在點F，使△FDQ為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）將A、C兩點坐標代入拋物線y=﹣x²+bx+c，…………………1分

，

解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x²+x+8；……4分

（2）①∵OA=8，OC=6

∴AC==10，…………………5分

過點Q作QE⊥BC與E點，則sin∠ACB===，

∴=，

∴QE=（10﹣m），……………………7分

∴S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m²+3m=﹣（m﹣5）²+，

∴當m=5時，S取最大值；……………………9分

②在拋物線對稱軸l上存在點F，使△FDQ為直角三角形，

滿足條件的點F共有四個，坐標分別為

F₁（，8），F(xiàn)₂（，4），F(xiàn)₃（，6+），F(xiàn)₄（，6﹣），…………………13分