Question

已知，如圖，正方形ABCD，菱形EFGP，點E、F、G分別在AB、AD、CD上，延長DC，PH⊥DC于H．

（1）求證：GH=AE；

（2）若菱形EFGP的周長為20cm，，F(xiàn)D=2，求△PGC的面積．

Answer 1

【考點】菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．

【專題】計算題；證明題．

【分析】（1）根據(jù)圖形性質(zhì)可證明△AEF≌△HGP，從而即得GH=AE．

（2）△PGC的面積=×GC×PH，而由（1）知PH=AF，再根據(jù)題中已知條件及邊長可求得邊AD、AF和DG的長，從而得到GC的長，即可求得面積．

【解答】（1）證明：由菱形性質(zhì)知：∠EFG+∠FGP=180°，EF=GP=EP=FG，

又∠AEF+∠AFE=90°，∠DFG+∠DGF=90°，∠AFE+∠EFG+∠DFG=180°，∠DGF+∠FGP+∠PGH=180°，

∴∠AFE=∠GPH，

又∵∠A=∠H，

∴△AEF≌△HGP，（AAS）

∴GH=AE；

 

（2）解：∵菱形EFGP的周長為20cm，

∴EF=GP=EP=FG=5cm，

又∵，

∴在△AEF中，AF=4，EF=5，

又∵FD=2，

∴正方形邊長=AD=DC=6，

在△DFG中，DG==，

∴GC=6﹣，

又由（1）知PH=AF，

∴△PGC的面積=×GC×PH=×GC×AF=12﹣2（cm²）．

【點評】本題考查了正方形性質(zhì)以及菱形性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．