Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過A（3，0），B（0，－3）兩點，點P是直線AB上一動點，過點P作軸的垂線交拋物線于點M，設點P的橫坐標為t，

1.分別求直線AB和這條拋物線的解析式（4分）

2.若點P在第四象限，連結(jié)BM、AM，當線段PM最長時，求的面積。（4分）

③  3.是否存在這樣的點P，使得以點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由（3分）。

 

Answer 1

【答案】

 

1.把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x²+mx+n，得

解得，

所以拋物線的解析式是y=x²﹣2x﹣3．

設直線AB的解析式是y=kx+b，

把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，

解得，

所以直線AB的解析式是y=x﹣3；（4分）

2.設點P的坐標是（t，t﹣3），則M（t，t²﹣2t﹣3），

因為p在第四象限，

所以PM=（t﹣3）﹣（t²﹣2t﹣3）=﹣t²+3t，

當t=﹣=時，二次函數(shù)的最大值，即PM最長值為=，

則S_△ABM=S_△BPM+S_△APM==．（4分）

3.存在，理由如下：

∵PM∥OB，

∴當PM=OB時，點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，

①當P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有，所以不可能有PM=3．

②當P在第一象限：PM=OB=3，（t²﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t₁=，t₂=（舍去），所以P點的橫坐標是；

③當P在第三象限：PM=OB=3，t²﹣3t=3，解得t₁=（舍去），t₂=，所以P點的橫坐標是．

所以P點的橫坐標是或．

【解析】（1）分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分別代入y=x²+mx+n與y=kx+b，得到關(guān)于m、n的兩個方程組，解方程組即可；

（2）設點P的坐標是（t，t﹣3），則M（t，t²﹣2t﹣3），用P點的縱坐標減去M的縱坐標得到PM的長，即PM=（t﹣3）﹣（t²﹣2t﹣3）=﹣t²+3t，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到

當t=﹣=時，PM最長為=，再利用三角形的面積公式利用S_△ABM=S_△BPM+S_△APM計算即可；

（3）由PM∥OB，根據(jù)平行四邊形的判定得到當PM=OB時，點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，然后討論：當P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有，所以不可能；當P在第一象限：PM=OB=3，（t²﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；當P在第三象限：PM=OB=3，t²﹣3t=3，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值．