Question

如圖，已知在矩形ABCD中，AD=10，CD=5，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，沿線(xiàn)段DA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A方向移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線(xiàn)CD方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度移動(dòng)，當(dāng)B、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)BF⊥CE．設(shè)點(diǎn)E移動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

（1）求當(dāng)t為何值時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；

（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，EC是∠BED的平分線(xiàn)；

（3）設(shè)四邊形BCFE的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍；

（4）求當(dāng)t為何值時(shí)，△EFC是等腰三角形．（直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

【考點(diǎn)】四邊形綜合題．

【分析】（1）B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，滿(mǎn)足△FED∽△FBC，結(jié)合行程問(wèn)題可以得出關(guān)于t的比例式，求出t的值；

（2）∠BEC=∠BFC．可以轉(zhuǎn)化為∠BEC=∠BCE．即BE=BC．得出關(guān)于t的方程，求出值；

（3）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，可以將四邊形BCFE的面積分成S_△BCE，S_△ECF兩部分，結(jié)合（1）確定t的取值范圍；

（4）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分EF=EC，EC=FC，EF=FC三種情況討論．

【解答】解：（1）當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，如圖所示．

由題意可知：ED=t，BC=10，F(xiàn)D=2t﹣5，F(xiàn)C=2t．

∵ED∥BC，

∴△FED∽△FBC．

∴=．

∴=．

解得t=5．

∴當(dāng)t=5時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；

（2）在Rt△BCF和Rt△CDE中，

∵∠BCF=∠CDE=90°，==2，

∴Rt△BCF∽R(shí)t△CDE．

∴∠BFC=∠CED．                              

∵AD∥BC，

∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，則∠BEC=∠BCE．即BE=BC．

∵5²+（10﹣t）²=10²，

解得 t₁=10+5（舍去），t₂=10﹣5．

即當(dāng)t=10﹣5時(shí)，EC是∠BED的平分線(xiàn)．        

（3）分兩種情況討論：①當(dāng)F在線(xiàn)段CD上時(shí)：S_{四邊形BCFE}=S_梯形BCDE﹣S_△EDF=（t+10）×5﹣t（5﹣2t）=t²+25；

②當(dāng)F在CD延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)：

S_{四邊形BCFE}=S_梯形BCDE+S_△EDF=（t+10）×5+t（2t﹣5）=﹣t²+25；

∴S=﹣t²+25（0≤t≤5）；

（4）△EFC是等腰三角形有三種情況：

①若EF=EC時(shí)，則點(diǎn)F只能在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，

∵EF²=（2t﹣5）²+t²=5t²﹣20t+25，

EC²=5²+t²=t²+25，

∴5t²﹣20t+25=t²+25．

∴t=5或t=0（舍去）；

②若EC=FC時(shí)，

∵EC²=5²+t²=t²+25，F(xiàn)C²=4t²，

∴t²+25=4t²．

∴t=；

③若EF=FC時(shí)，

∵EF²=（2t﹣5）²+t²=5t²﹣20t+25，F(xiàn)C²=4t²，

∴5t²﹣20t+25=4t²．

∴t₁=10+5（舍去），t₂=10﹣5．

∴當(dāng)t的值為5，或10﹣5時(shí)，△EFC是等腰三角形．