（2012•青島模擬）同學(xué)們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了很多正多邊形，現(xiàn)以正六邊形為例再介紹與正多邊形相關(guān)的幾個(gè)概念．如正六邊形ABCDEF各邊對(duì)稱軸的交點(diǎn)O，又稱正六邊形的中心，其中OA稱正六邊形的半徑，通常用R表示，∠AOB稱為中心角，顯然．提出問題：正多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊距離之和與這個(gè)正多邊形的半徑R和中心角有什么關(guān)系？
探索發(fā)現(xiàn)：
（1）為了解決這個(gè)問題，我們不妨從最簡(jiǎn)單的正多邊形--正三角形入手．
如圖①，△ABC是正三角形，半徑OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，P到△ABC各邊距離分別為h
1、h
2、h
3 ，確定h
1+h
2+h
3的值與△ABC的半徑R及中心角的關(guān)系．
解：設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)是a，面積為S，顯然S=
a（h
1+h
2+h
3）
O為△ABC的中心，連接OA、OB、OC，它們將△ABC分成三個(gè)全等的等腰三角形，過點(diǎn)O作OM⊥AB，垂足為M，Rt△AOM中，易知
OM=OAcos∠AOM=Rcos
∠AOB=Rcos
×120°=Rcos60°，
AM=OAsin∠AOM=Rsin
∠AOB=Rsin
×120°=Rcos60°
∴AB=a=2AM=2Rsin60°
∴S
△AOB=
AB×OM=
×2Rsin60°•Rcos60°=R
2sin60°cos60°
∴S
△ABC=3S
△AOB=3R
2sin60°cos60°
∴
a（h
1+h
2+h
3）=3R
2sin60°cos60°
即：
×2Rsin60°（h
1+h
2+h
3）=3R
2sin60°cos60°
∴h
1+h
2+h
3=3Rcos60°
（2）如圖②，五邊形ABCDE是正五邊形，半徑是R，P是正五邊形ABCDE內(nèi)任意一點(diǎn)，P到五邊形ABCDE各邊距離分別為h
1、h
2、h
3、h
4、h
5，參照（1）的探索過程，確定h
1+h
2+h
3+h
4+h
5的值與正五邊形ABCDE的半徑R及中心角的關(guān)系．
（3）類比上述探索過程，直接填寫結(jié)論
正六邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和 h
1+h
2+h
3+h
4+h
5+h
6=
6Rcos30°
6Rcos30°
正八邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和 h
1+h
2+h
3+h
4+h
5+h
6+h
7+h
8=
8Rcos22.5°
8Rcos22.5°
正n邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和 h
1+h
2+…+h
n=
．
名校課堂系列答案
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