Question

1．已知，平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（0，b），且a，b滿(mǎn)足$\sqrt{a-4}$+|3-b|=0，C點(diǎn)是線(xiàn)段OB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)C作l∥x軸交AB于點(diǎn)D，連接OD．
①若C（0，$\frac{5}{2}$），求D點(diǎn)坐標(biāo)．
拓展：在①基礎(chǔ)上，若點(diǎn)P是l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作m∥y軸，交折線(xiàn)ODA于Q，當(dāng)線(xiàn)段PQ=$\frac{1}{2}$時(shí)，求△OCQ的面積．
②當(dāng)C點(diǎn)在線(xiàn)段OB上運(yùn)動(dòng)到使∠AOD=∠ADO時(shí)，作∠ABO的角平分線(xiàn)BM交OD于M，試求∠MOB+∠MBO的度數(shù)．
拓展：在②基礎(chǔ)上，過(guò)A點(diǎn)作OD的平行線(xiàn)交BM于N點(diǎn)，求出∠ANB的度數(shù)．
③在①的基礎(chǔ)上，是否存在點(diǎn)E（-2，y），使S_△ODE＞4S_△AOD？若存在，求出y的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 ①根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線(xiàn)AB的解析式，根據(jù)C的坐標(biāo)得出D的縱坐標(biāo)，代入解析式即可求得橫坐標(biāo)；
拓展：根據(jù)D的坐標(biāo)求得OD的解析式，根據(jù)D的縱坐標(biāo)和PQ=$\frac{1}{2}$，求得Q的縱坐標(biāo)，代入解析式求得橫坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式即可求得；
②根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠BCD=90°，∠CDO=∠AOD，根據(jù)∠AOD=∠ADO得出∠ADC=90°+∠OBD=2∠AOD，由∠OBD=2∠MBO，得出2∠AOD=90°+2∠MBO，得出∠AOD=45°+∠MBO，由∠AOD=90°-∠MOB，得出∠MOB+∠MBO=45°；
③作EP⊥x軸于P，DQ⊥x軸于Q，根據(jù)S_△EOD=S_梯形EPQD-S_△OPE-S_△OPQ得出S_△EOD=$\frac{1}{3}$|y|+$\frac{15}{6}$，
由S_△ODE＞4S_△AOD得出$\frac{1}{3}$|y|+$\frac{15}{6}$＞4×5，解不等式即可求得．

解答 解：∵平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（0，b），且a，b滿(mǎn)足$\sqrt{a-4}$+|3-b|=0，
∴a=4，b=3，
∴A（4，0），B（0，3），
設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{4}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)AB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3，
①∵CD∥x軸，C（0，$\frac{5}{2}$），
∴D的縱坐標(biāo)為$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{5}{2}$=-$\frac{3}{4}$x+3，解得x=$\frac{2}{3}$，
∴D（$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{2}$）；
拓展：∵D（$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{2}$），
∴直線(xiàn)OD：y=$\frac{15}{4}$x，
當(dāng)Q點(diǎn)在線(xiàn)段OD上時(shí)，
∵P的縱坐標(biāo)為$\frac{5}{2}$，PQ=$\frac{1}{2}$，
∴Q的縱坐標(biāo)為2，
代入y=$\frac{15}{4}$x得，2=$\frac{15}{4}$x，解得x=$\frac{8}{15}$，
∴Q（$\frac{8}{15}$，2）；
∴S_△OCQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{8}{15}$=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)Q點(diǎn)在線(xiàn)段AB上時(shí)，∵P的縱坐標(biāo)為$\frac{5}{2}$，PQ=$\frac{1}{2}$，
∴Q的縱坐標(biāo)為2，
代入y=-$\frac{3}{4}$x+3得，2=-$\frac{3}{4}$x+3，解得x=$\frac{4}{3}$，
∴Q（$\frac{4}{3}$，2）；
∴S_△OCQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，
故△OCQ的面積為$\frac{2}{3}$或$\frac{5}{3}$；
②∵CD∥OA，
∴∠BCD=90°，∠CDO=∠AOD，
∵∠AOD=∠ADO
∴∠ADC=90°+∠OBD=2∠AOD，
∵∠OBD=2∠MBO，
∴2∠AOD=90°+2∠MBO，
∴∠AOD=45°+∠MBO，
∵∠AOD=90°-∠MOB，
∴∠MOB+∠MBO=45°；
拓展：∵AN∥OD，
∴∠ANB=∠BMD，
∵∠BMD=∠MOB+∠MBO=45°，
∴∠ANB=45°；
③作EP⊥x軸于P，DQ⊥x軸于Q，
∵A（4，0），D（$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{2}$），E（-2，y），
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{5}{2}$=5，
∵S_△EOD=S_梯形EPQD-S_△OPE-S_△OPQ
=$\frac{1}{2}$（|y|+$\frac{5}{2}$）（2+$\frac{2}{3}$）-$\frac{1}{2}×$2×|y|-$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{5}{2}$
=$\frac{1}{3}$|y|+$\frac{15}{6}$，
∵S_△ODE＞4S_△AOD，
∴$\frac{1}{3}$|y|+$\frac{15}{6}$＞4×5，
解得|y|＞$\frac{105}{2}$，
∴y＞$\frac{105}{2}$或y＜-$\frac{105}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積等，③作出輔助線(xiàn)根據(jù)直角梯形是關(guān)鍵．