Question

在矩形ABCD中，E為BC的中點，點F在BC的延長線上，CM平分∠DCF，連接AE，作EM⊥AE交CM于點M．
（1）如圖1，當AB=BC時，請判斷AE與EM的數(shù)量關系并證明；
（2）如圖2，當AB=nBC時，請判斷AE與EM的數(shù)量關系并證明；
（3）如圖3，當AB=n•BC，BE=m•EC時，請判斷AE與EM的數(shù)量關系并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AB的中點G，連接EG，利用ASA證明△AEG≌EMC；
（2）在AB上截取BG=BE，連接GE，然后證明∠EAG=∠MEC，∠AGE=∠ECM=135°，再利用兩角對應相等的兩三角形相似證明△AEG∽△EMC，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可得出AE與EM的數(shù)量關系；
（3）在AB上截取BG=BE，連接GE，然后證明∠EAG=∠MEC，∠AGE=∠ECM=135°，再利用兩角對應相等的兩三角形相似證明△AEG∽△EMC，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可得出AE與EM的數(shù)量關系．
解答：解：（1）AE=EM，理由如下：
如圖1，取AB的中點G，連接GE．
∵∠AEM=90°，
∴∠MEC+∠AEB=90°，
又∵∠B=90°，
∴∠EAG+∠AEB=90°，
∴∠EAG=∠MEC．
∵點E，G分別為正方形ABCD的邊BC和AB的中點，
∴AG=EC．
又可知△BGE是等腰直角三角形，
∴∠AGE=135°．
又∵CM平分∠DCF，
∴∠ECM=135°．
在△AEG與△EMC中，
，
∴△AEG≌△EMC（ASA），
∴AE=EM；

（2）當AB=nBC時，AE=（2n-1）EM，理由如下：
如圖2，在AB上截取BG=BE，連接GE，則△BGE為等腰直角三角形，
∴∠BGE=45°，
∴∠AGE=∠ECM=135°．
∵∠AEM=90°，
∴∠MEC+∠AEB=90°，
又∵∠B=90°，
∴∠EAG+∠AEB=90°，
∴∠EAG=∠MEC．
在△AEG與△EMC中，
，
∴△AEG∽△EMC，
∴AE：EM=AG：EC，
∵AB=nBC，BC=2BE=2EC，BG=BE，
∴AG+BG=2nEC，
∴AG=（2n-1）EC，
∴AE：EM=AG：EC=（2n-1），
∴AE=（2n-1）EM；

（3）當AB=n•BC，BE=m•EC時，AE=（mn+n-m）EM，理由如下：
如圖3，在AB上截取BG=BE，連接GE，則△BGE為等腰直角三角形，
∴∠BGE=45°，
∴∠AGE=∠ECM=135°．
∵∠AEM=90°，
∴∠MEC+∠AEB=90°，
又∵∠B=90°，
∴∠EAG+∠AEB=90°，
∴∠EAG=∠MEC．
在△AEG與△EMC中，
，
∴△AEG∽△EMC，
∴AE：EM=AG：EC，
∵BE=m•EC，
∴BC=BE+EC=（m+1）EC，
∵AB=n•BC，BG=BE，
∴AG+BG=n（m+1）EC，
∴AG+mEC=n（m+1）EC，
∴AG=（mn+n-m）EC，
∴AE：EM=AG：EC=（mn+n-m），
∴AE=（mn+n-m）EM．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，理清解題的關鍵是在AB上截取BG=BE，然后構造出△AEG與△EMC全等或相似是解題的關鍵．