Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，4），B（3，0），連接AB．若A點(diǎn)沿y軸向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，在保持線段AB的長(zhǎng)度不變的條件下，B點(diǎn)沿x軸向右平移．
（1）求線段BD的長(zhǎng)度；
（2）一頂點(diǎn)為（1，-3）的拋物線經(jīng)過D點(diǎn)，求這個(gè)拋物線的解析式；
（3）連接AD，點(diǎn)P為AD上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，PF⊥y軸于點(diǎn)F．試探究矩形PEOF的周長(zhǎng)L和面積S是否都隨P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化？若變化，請(qǐng)求出最大值；若不變化，請(qǐng)求出這個(gè)不變值．

Answer 1

解：（1）∵A（0，4），B（3，0），
∴OA=4，OB=3，C（0，3）；
Rt△OAB中，由勾股定理可得：AB=5；
Rt△OCD中，AB=CD=5，OC=3，則OD=4；
故D（4，0），BD=OD-OB=1；
即BD=1．

（2）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）²-3，
由題意得：a（4-1）²-3=0，a=；
故：y=．

（3）由（1）知D（4，0），C（0，4）；
則△OAD是等腰直角三角形，且直線CD：y=-x+4；
因此△AFP、△PED都是等腰直角三角形，
∴PF=AF，PE=ED；
故矩形的周長(zhǎng)C=PF+OF+OE+PE=AF+OF+OE+ED=OA+OD=8，
因此矩形PFOE的周長(zhǎng)是個(gè)定值，且為8；
設(shè)點(diǎn)P（x，-x+4），則有：
矩形的面積S=x（-x+4）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴矩形的面積S發(fā)生變化，且最大值為4；
綜上可知：矩形的周長(zhǎng)不變，C=8，面積S發(fā)生變化，最大值為4．
分析：（1）根據(jù)A、B的坐標(biāo)，可求得OA、OB的長(zhǎng)，進(jìn)而可得到AB=5，若A向下平移1個(gè)單位，則C（3，0），OC=3，利用勾股定理即可求得OD=4，由此可得到BD的長(zhǎng)．
（2）可將所求的拋物線設(shè)為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，然后再將D點(diǎn)坐標(biāo)代入上述，即可求得待定系數(shù)的值，從而確定拋物線的解析式．
（3）首先求矩形的周長(zhǎng)，由（1）知：OC=OD=4，即可得到△AOD、△AFP、△PED都是等腰直角三角形，那么AF=PF、PE=ED，因此矩形的周長(zhǎng)等于OA+OD，因此這個(gè)值是不變的；
易求得直線CD的解析式，設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，根據(jù)直線CD的解析式即可表示出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)矩形的面積公式即可得到關(guān)于矩形面積和P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得該矩形的最大面積．
點(diǎn)評(píng)：此題考查勾股定理、二次函數(shù)解析式的確定、矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)最值的應(yīng)用等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，難度適中．