Question

如圖，直線y=3x+3交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（3，0）．
（1）求A、B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線的解析式y(tǒng)=3x+3，當(dāng)x=0和y=0時(shí)就可以求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式．
（3）將拋物線化為頂點(diǎn)式，求出對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)軸，設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，利用等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式就可以求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵y=3x+3，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=3，當(dāng)y=0時(shí)，x=-1，
∴A（-1，0），B（0，3）．

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，由題意，得

0=a-b+c 3=c 0=9a+3b+c

，
解得

a=-1 b=2 c=3

∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3

（3）∵y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，設(shè)Q（1，a），
（1）當(dāng)AQ=BQ時(shí)，如圖，
由勾股定理可得
BQ=

BF2+QF2

=

(1-0)2+(3-a)2

，
AQ=

AD2+QD2

=

22+a2

得

(1-0)2+(3-a)2

=

22+a2

，解得
a=1，
∴Q（1，1）；
（2）如圖：
當(dāng)AB是腰時(shí)，Q是對(duì)稱(chēng)軸與x軸交點(diǎn)時(shí)，AB=BQ，
∴

(1-0)2+(a-3)2

=

10

解得：a=0或6，
當(dāng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，6）時(shí)，其在直線AB上，A、B和Q三點(diǎn)共線，舍去，
則此時(shí)Q的坐標(biāo)是（1，0）；
（3）當(dāng)AQ=AB時(shí)，如圖：

22+a2

=

10

，解得a=±

6

，則Q的坐標(biāo)是（1，

6

）和（1，-

6

）．
綜上所述：Q（1，1），（1，0），（1，

6

），（1，-

6

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)及判定，兩點(diǎn)間的距離公式的運(yùn)用．