Question

某鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)教學(xué)樓對(duì)面是一座小山，去年“聯(lián)通”公司在山頂上建了座通訊鐵塔．甲、乙兩位同學(xué)想測(cè)出鐵塔的高度，他們用測(cè)角器作了如下操作：甲在教學(xué)樓頂A處測(cè)得塔尖M的仰角為α，塔座N的仰角為β；乙在一樓B處只能望到塔尖M，測(cè)得仰角為θ（望不到底座），他們知道樓高AB=20m，通過查表得：tanα=0.5723，tanβ=0.2191，tanθ=0.7489；請(qǐng)你根據(jù)這幾個(gè)數(shù)據(jù)，結(jié)合圖形推算出鐵塔高度MN的值．

Answer 1

【答案】分析：構(gòu)造所給的三個(gè)角所在的直角三角形，利用相等的線段及相應(yīng)的三角函數(shù)表示出MN，MD，ME，進(jìn)而用MD，ME表示出樓高AB，求得相等的線段的長度，進(jìn)而求得塔高即可．
解答：解：如圖，設(shè)地平線BD，水平線AE分別交直線MN與D，E．
顯然AE=BD，不妨設(shè)為m，則在Rt△AEM中，ME=mtanα．
在Rt△AEN中，NE=mtanβ，
∴MN=m（tanα-tanβ）．
在Rt△BDM中，MD=mtanθ，
而AB=DE=MD-ME=m（tanθ-tanα），
∴m=，
∴MN=．
∵AB=20，tanα=0.5723，tanβ=0.2191 tanθ=0.7489，
∴MN=≈40（m）．
∴可測(cè)得鐵塔的高度MN=40m．
點(diǎn)評(píng)：解決本題的難點(diǎn)是構(gòu)造所給角所在的直角三角形，關(guān)鍵是利用相等的線段表示出已知線段的長度．