Question

【題目】對x，y定義一種新運(yùn)算x[]y= （其中a，b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則混合運(yùn)算，例如：0[]2= =﹣2b．
（1）已知1[]2=3，﹣1[]3=﹣2．請解答下列問題．
①求a，b的值；
②若M=（m2﹣m﹣1）[]（2m﹣2m2），則稱M是m的函數(shù)，當(dāng)自變量m在﹣1≤m≤3的范圍內(nèi)取值時，函數(shù)值M為整數(shù)的個數(shù)記為k，求k的值；
（2）若x[]y=y[]x，對任意實(shí)數(shù)x，y都成立（這里x[]y和y[]x均有意義），求a與b的函數(shù)關(guān)系式？

Answer 1

【答案】
（1）

解：①由1[]2=3，﹣1[]3=﹣2，得

，解得 ．

答：a的值為8，b的值為﹣1．

②把a(bǔ)=8，b=﹣1代入x[]y= ，得x[]y= ，

M=（m2﹣m﹣1）[]（2m﹣2m2）=﹣2m2+2m+4=﹣2 + ，

又∵﹣1≤m≤3，

∴當(dāng)m= 時，M取最大值 ；

當(dāng)m=﹣1時，M=0；

當(dāng)m=3時，M=﹣8．

∴﹣8≤M≤ =4 ，

∴k=8+4+1=13．

（2）

解：∵x[]y=y[]x，

∴ = ，

∴ay2﹣ax2+4by2﹣4bx2=0，

∴a（y2﹣x2）+4b（y2﹣x2）=0，

即（a+4b）（y2﹣x2）=0．

∵對任意實(shí)數(shù)x，y都成立，

∴a+4b=0，

∴a=﹣4b

【解析】（1）①結(jié)合新運(yùn)算的定義，代入數(shù)據(jù)，解二元一次方程組即可得出結(jié)論；②將a、b的值代入原定義式中，用m表示出M，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可找出M的取值范圍，從而得出k的值；（2）x[]y=y[]x得出關(guān)于a、b、x、y的等式，由對任意實(shí)數(shù)x，y都成立，找出恒為0的代數(shù)式a+4b=0，從而得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解有理數(shù)的四則混合運(yùn)算(在沒有括號的不同級運(yùn)算中，先算乘方再算乘除，最后算加減)．