Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD=2，AB=4，BC=5，按圖中所示的方法截取矩形BEFN（陰影部分），點F在邊CD上（不包括C、D），設矩形兩邊長分別為x、y．
（1）求y與x之間的函數(shù)關系式并直接寫出自變量x的取值范圍．
（2）當矩形面積為8時，求x、y的值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,一元二次方程的應用,直角梯形

專題：

分析：（1）延長BA、CD交于O，證△OAD∽△OBC，得出

OA

OB

=

AD

BC

，求出OA=

8

3

，證△ONF∽△OBC，得出

8 3 +4-x

8 3 +4

=

y

5

，即可得出答案；
（2）根據(jù)矩形面積得出方程（5-

3

4

x）x=8，求出即可．

解答：解：（1）延長BA、CD交于O，
∵AD∥BC，
∴△OAD∽△OBC，
∴

OA

OB

=

AD

BC

，
∴

OA

OA+4

=

2

5

，
解得：OA=

8

3

，
∵四邊形BNFE是矩形，
∴BN=EF=x，NF=BE=y，NF∥BC，
∴△ONF∽△OBC，
∴

ON

OB

=

NF

BC

，
∴

8 3 +4-x

8 3 +4

=

y

5

，
y=5-

3

4

x（0＜x＜4）；

（2）∵矩形面積為8，
∴（5-

3

4

x）x=8，
解得：x=

8

3

，x₂=4，
y₁=3，y₂=2；
∵0＜x＜4，
∴x=4舍去，
即x=

8

3

，y=3．

點評：本題考查了矩形的性質，直角梯形，函數(shù)的應用，相似三角形的性質和判定的應用，解此題的關鍵是求出y=5-

3

4

x，題目是一道比較好的題目，難度適中．