Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，D點從BC的中點到C點運動，點E在AD上，以E為圓心的⊙E分別與AB、BC相切，則⊙E的半徑R的取值范圍為（　　）

• A、

  6

  7

  ≤R≤

  12

  7

• B、

  6

  7

  ≤R≤

  4

  3

• C、

  5

  6

  ≤R≤2
• D、1≤R≤

  3

  2

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：計算題

分析：當(dāng)點E在AD上，AD為△ABC的中線，如圖1，作EH⊥BC于H，EF⊥AB于F，根據(jù)切線的性質(zhì)得EH=EF=R，在Rt△ABC中利用勾股定理計算出BC=4，在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理計算出AD=

13

，然后證明△DEH∽△DAC，利用相似比得到DE=

13

3

R，DH=

2

3

R，則AE=AD-DE=

13

-

13

3

R，BH=BD+DH=2+

2

3

R，則根據(jù)切線長定理得BF=BH=2+

2

3

R，所以AF=AB-BF=3-

2

3

R，再在Rt△AEF中根據(jù)勾股定理得到R²+（3-

2

3

R）²=（

13

-

13

3

R）²，解得R=

6

7

；
當(dāng)點D運動到點C的位置，如圖2，作EF⊥AB于F，利用切線的性質(zhì)得EC=EF=R，則AE=AC-EC=3-R，再證明Rt△AFE∽Rt△ACB，利用相似比可計算出R=

4

3

，
由于D為BC的中點時，⊙E的半徑最小，D點與C點重合時，⊙E的半徑最大，所以則⊙E的半徑R的取值范圍為

6

7

≤R≤

4

3

．

解答：解：當(dāng)點E在AD上，AD為△ABC的中線，如圖1，作EH⊥BC于H，EF⊥AB于F，
∵以E為圓心的⊙E分別與AB、BC相切，
∴EH=EF=R，
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC=

AB2-AC2

=4，
∵點D為BC的中點，
∴BD=CD=2，
在Rt△ADC中，AD=

AC2+CD2

=

13

，
∵EH∥AC，
∴△DEH∽△DAC，
∴

DE

DA

=

EH

AC

=

DH

DC

，即

DE

13

=

R

3

=

DH

2

，
∴DE=

13

3

R，DH=

2

3

R，
∴AE=AD-DE=

13

-

13

3

R，BH=BD+DH=2+

2

3

R，
∵以E為圓心的⊙E分別與AB、BC相切，
∴BF=BH=2+

2

3

R
∴AF=AB-BF=3-

2

3

R，
在Rt△AEF中，∵EF²+AF²=AE²，
∴R²+（3-

2

3

R）²=（

13

-

13

3

R）²，解得R=

6

7

；
當(dāng)點D運動到點C的位置，如圖2，作EF⊥AB于F，
∵以E為圓心的⊙E分別與AB、BC相切，
∴EC=EF=R，
∴AE=AC-EC=3-R，
∵∠FAE=∠CAB，
∴Rt△AFE∽Rt△ACB，
∴

EF

BC

=

AE

AB

，即

R

4

=

3-R

5

，解得R=

4

3

，
∴當(dāng)D點從BC的中點到C點運動，點E在AD上，以E為圓心的⊙E分別與AB、BC相切，則⊙E的半徑R的取值范圍為

6

7

≤R≤

4

3

．
故選B．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點；經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．