Question

8．如圖，已知?ABCD中，點F為AD的中點，CE⊥AB交BA的延長線于點E，連CF，若∠ECF=45°，試寫出CD、AE、CE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 延長BA，交CF延長線于G根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD由平行線的性質(zhì)得到∠GAF=∠D，∠G=∠GCD，推出△AGF≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=CD，得到△CEG是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得到CE=EG，即可得到結(jié)論．

解答 解：CD-AE=CE，
延長BA，交CF延長線于G
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB∥CD
∴∠GAF=∠D，∠G=∠GCD，
∵F是AD的中點，即AF=DF，
在△AGF與△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GAF=∠D}\\{∠G=∠FCD}\\{AF=DF}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△DCF，
∴AG=CD，
∵CE⊥AB，∠ECF=45°，
∴△CEG是等腰直角三角形，
∴CE=EG，
∵EG=AG-AE=CD-AE
∴CD-AE=CE．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．