Question

如圖，分別以△ABC的邊AC、BC為一邊，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)P到AB的距離是AB的一半．

Answer 1

【答案】分析：分別過(guò)E，F(xiàn)，C，P作AB的垂線，垂足依次為R，S，T，Q，則PQ=（ER+FS），易證Rt△AER≌Rt△CAT，則ER=AT，F(xiàn)S=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得證．
解答：解：分別過(guò)E，F(xiàn)，C，P作AB的垂線，垂足依次為R，S，T，Q，則ER∥PQ∥FS，
∵P是EF的中點(diǎn)，∴Q為RS的中點(diǎn)，
∴PQ為梯形EFSR的中位線，
∴PQ=（ER+FS），
∵AE=AC（正方形的邊長(zhǎng)相等），∠AER=∠CAT（同角的余角相等），∠R=∠ATC=90°，
∴Rt△AER≌Rt△CAT（AAS），
同理Rt△BFS≌Rt△CBT，
∴ER=AT，F(xiàn)S=BT，
∴ER+FS=AT+BT=AB，
∴PQ=AB．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了梯形中位線定理、全等三角形的判定以及正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，輔助線的作法很關(guān)鍵．