Question

11．如圖，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，連接DB，O為DB的中點(diǎn)，連接OE，OC．
（1）如圖①，當(dāng)A，B，D三點(diǎn)共線時(shí)，求證：OC=OE且OC⊥OE；
（2）如圖②，當(dāng)A，B，D三點(diǎn)不共線時(shí)，（1）的結(jié)論是否成立？說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，延長EO到F使OF=OE，連接EC，BF，CF，通過△DOE≌△BOF，得到DE=BF，∠D=∠OBF，證得△ACE≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EC=CF，∠ACE=∠BCF，推出△ECF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）延長EO到F使OF=OE，連接EC，BF，CF，通過△DOE≌△BOF，得到DE=BF，∠D=∠OBF，證得△ACE≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EC=CF，∠ACE=∠BCF，推出△ECF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，延長EO到F使OF=OE，連接EC，BF，CF，
在△DOE與△BOF中，$\left\{\begin{array}{l}{DO=BO}\\{∠DOE=∠BOF}\\{EO=FO}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△BOF，
∴DE=BF，∠D=∠OBF，
∴AE=BF，
∵△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，
∴∠D=∠ABC=∠EAD=∠CAB=45°，
∴∠CAE=∠CBF=90°，
在△ACE與△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{∠EAC=∠FBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCF，
∴EC=CF，∠ACE=∠BCF，
∴∠ACE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=90°，
∴∠ECF=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴OC=OE且OC⊥OE；

（2）（1）的結(jié)論成立，
如圖②，延長EO到F使OF=OE，連接EC，BF，CF，
在△DOE與△BOF中，$\left\{\begin{array}{l}{DO=BO}\\{∠DOE=∠BOF}\\{EO=FO}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△BOF，
∴DE=BF，∠EDO=∠OBF=∠EDA+∠1，
∴AE=BF，
∵△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，
∴∠EDA=∠ABC=∠EAD=∠CAB=45°，
∴∠CBF=45°+∠2+45°+∠1=90°+∠1+∠2，
∠CAE=360°-∠DAB-90°=270°-（180°-∠1-∠2）=90°+∠1+∠2，
∴∠CAE=∠CBF，
在△ACE與△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{∠EAC=∠FBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCF，
∴EC=CF，∠ACE=∠BCF，
∴∠ACE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=90°，
∴∠ECF=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴OC=OE且OC⊥OE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．