Question

已知如圖所示，二次函數(shù)y=3x²-3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．直線x=1+m（m＞O）與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）在直線x=l+m（m＞0）上有一點(diǎn)P（點(diǎn)P在第一象限），使得以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似，求P點(diǎn)的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）．
（3）在（2）成立的條件下，試問：拋物線y=3x²-3上是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形？如果存在這樣的點(diǎn)Q，請(qǐng)求出m的值；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，令x=0，求出y的值即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)求出OB、OC的長(zhǎng)度，再求出BD的長(zhǎng)度，然后分①OB與BD是對(duì)應(yīng)邊，②OC與BD是對(duì)應(yīng)邊，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出關(guān)于m的方程，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等用m表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)Q在拋物線上，代入拋物線解析式計(jì)算求出m的值，即可得解．

解答：解：（1）令y=0，則3x²-3=0，
解得x₁=-1，x₂=1，
所以，點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），
令x=0，則y=3×0-3=-3，
所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）；

（2）∵B（1，0），C（0，-3），
∴OB=1，OC=3，
又∵直線x=l+m（m＞O）與x軸交于點(diǎn)D，
∴BD=1+m-1=m，
①OB與BD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，
∵△BCO∽△BPD，
∴

OB

BD

=

OC

PD

，
即

1

m

=

3

PD

，
解得PD=3m，
所以，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1+m，3m），
②OC與BD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，
∵△BCO∽△PBD，
∴

OC

BD

=

OB

PD

，
即

3

m

=

1

PD

，
解得PD=

1

3

m，
所以，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+m，

1

3

m）；

（3）存在．理由如下：
∵A（-1，0），B（1，0），
∴AB=1-（-1）=1+1=2，
根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，PQ=AB=2，且PQ∥AB，
①當(dāng)點(diǎn)P（1+m，3m）時(shí)，1+m-2=m-1，
所以，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m-1，3m），
∵點(diǎn)Q在拋物線上，
∴3（m-1）²-3=3m，
整理得，m²-3m=0，
解得，m₁=3，m₂=0（舍去），
②當(dāng)點(diǎn)P（1+m，

1

3

m）時(shí)，1+m-2=m-1，
所以，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m-1，

1

3

m），
∵點(diǎn)Q在拋物線上，
∴3（m-1）²-3=

1

3

m，
整理得，9m²-19m=0，
解得m₁=

19

9

，m₂=0（舍去），
∵3與

19

9

都大于0，
∴拋物線y=3x²-3上存在點(diǎn)Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形，
此時(shí)，m的值為3與

19

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)，主要利用了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，（2）中要注意根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的不同分情況討論，（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)用m表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．