Question

5．已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，$AB=2\sqrt{3}$．E是邊AB的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE、CE，且DE⊥CE．設(shè)AD=x，BC=y．
（1）如果∠BCD=60°，求CD的長；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）聯(lián)結(jié)BD．如果△BCD是以邊CD為腰的等腰三角形，求x的值．

Answer 1

分析 （1）首先過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，由AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，可求得DH的長，然后設(shè)CH=x，則 CD=2x，利用勾股定理即可求得方程：x²+（2$\sqrt{3}$）²=4x²，解此方程即可求得答案；
（2）首先取CD的中點(diǎn)F，連接EF，由梯形的中位線，可表示出EF的長，易得四邊形ABHD是平行四邊形，然后由勾股定理可得：（y-x）²+12=（x+y）²，繼而求得答案；
（3）分別從CD=BD或CD=BC去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為點(diǎn)H．
∵AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，
∴DH=AB=2$\sqrt{3}$，
在Rt△DHC中，
∵∠BCD=60°，
∴∠CDH=30°．
∴CD=2CH，
設(shè)CH=x，則 CD=2x．
利用勾股定理，得 CH²+DH²=CD²．
即得：x²+（2$\sqrt{3}$）²=4x²．
解得 x=2（負(fù)值舍去）．
∴CD=4；

（2）取CD的中點(diǎn)F，連接EF，
∵E為邊AB的中點(diǎn)，
∴EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）=$\frac{1}{2}$（x+y）．
∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°．
又∵DF=CF，
∴CD=2EF=x+y．
由AB⊥BC，DH⊥BC，得∠B=∠DHC=90°．
∴AB∥DH．
又∵AB=DH，
∴四邊形ABHD是平行四邊形．
∴BH=AD=x．
即得 CH=|y-x|，
在Rt△DHC中，利用勾股定理，得 CH²+DH²=CD²．
即得 （y-x）²+12=（x+y）²．
解得 $y=\frac{3}{x}$，
∴所求函數(shù)解析式為$y=\frac{3}{x}$．
自變量x的取值范圍是x＞0，且$x≠\sqrt{3}$；

（3）當(dāng)△BCD是以邊CD為腰的等腰三角形時(shí)，有兩種可能情況：CD=BD或CD=BC．
（ i）如果CD=BD，由DH⊥BC，得 BH=CH．即得 y=2x．
利用 $y=\frac{3}{x}$，得 $2x=\frac{3}{x}$．
解得 $x{_1}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，$x{_2}=-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
經(jīng)檢驗(yàn)：$x{_1}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，$x{_2}=-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，且$x{_2}=-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$不合題意，舍去．
∴$x=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$；
（ ii）如果CD=BC，則 x+y=y．
即得 x=0（不合題意，舍去），
綜上可得：$x=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

點(diǎn)評 此題屬于四邊形的綜合題．考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．注意掌握輔助線的作法，掌握方程思想與分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．